如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，VABC 是底面…——2020 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；② $\frac { \sqrt { 6 } } { 8 }$

【解析】

【分析】

（1）根据已知可得 $P A = P B = P C$ ，进而有 $\triangle P A C \cong \triangle P B C$ ，可得

$\angle A P C = \angle B P C = 9 0 ^ { \circ }$ ，即 $P B \perp P C$ ，从而证得PC ^平面PAB，即可证得结论；

（2）将已知条件转化为母线l和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC边长，在等腰直角三角形APC中求出AP，在 $R t { \triangle A P O }$ 中，求出PO，即可求出结论.

【详解】（1）QD为圆锥顶点，O为底面圆心，\ ^OD 平面ABC，

$\because P$ 在 DO 上， $O A = O B = O C , \therefore P A = P B = P C$

$\because \triangle A B C$ 是圆内接正三角形， $\therefore A C = B C , \bigtriangleup P A C \cong \bigtriangleup P B C$

$\therefore \angle A P C = \angle B P C = 9 0 ^ { \circ }$ ，即 $P B \bot P C , P A \bot P C$

$P A \cap P B = P , \therefore P C \bot$ 平面 $P A B , P C \subset$ 平面PAC ，\平面 $P A B \perp$ 平面 $P A C$

> ②设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为 $\pi r l = \sqrt { 3 } \pi , r l = \sqrt { 3 }$

$O D ^ { 2 } = l ^ { 2 } - r ^ { 2 } = 2 $ ，解得 $r = 1 , l = \sqrt { 3 } \ , \ A C = 2 r \sin 6 0 ^ { \circ } = \sqrt { 3 }$

在等腰直角三角形APC中， $A P = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } A C = { \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } }$

在 $R t { \triangle } P A O$ 中， $P O = \sqrt { A P ^ { 2 } - O A ^ { 2 } } = \sqrt { \frac { 6 } { 4 } - 1 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

\三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $V _ { _ { P - A B C } } = { \frac { 1 } { 3 } } P O \cdot S _ { _ { C A B C } } = { \frac { 1 } { 3 } } \times { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \times { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } \times 3 = { \frac { \sqrt { 6 } } { 8 } }$

【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.