如图，在四边形 A B C D 中， B=60^ , A…——2020 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
如图，在四边形 $A B C D$ 中，$\angle B=60^{\circ}, A B=3, B C=6$ ，且 $\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=-\frac{3}{2}$ ，则实数 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ，若 $M, N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $|\overrightarrow{M N}|=1$ ，则 $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

【答案】
①．$\frac{1}{6}$
②．$\frac{13}{2}$

【解析】
【分析】
可得 $\angle B A D=120^{\circ}$ ，利用平面向量数量积的定义求得 $\lambda$ 的值，然后以点 $B$ 为坐标原点，$B C$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，设点 $M(x, 0)$ ，则点 $N(x+1,0)$（其中 $0 \leq x \leq 5$ ），得出 $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 关于 $x$ 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 的最小值．

【详解】 $\because \overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{B C}, \therefore A D / / B C, \therefore \angle B A D=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}$ ，

$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{A B}=\lambda|\overrightarrow{B C}| \cdot|\overrightarrow{A B}| \cos 120^{\circ}$
$=\lambda \times 6 \times 3 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=-9 \lambda=-\frac{3}{2}$,
解得 $\lambda=\frac{1}{6}$ ，
以点 $B$ 为坐标原点，$B C$ 所在直线为 $x$ 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 $x B y$ ，

$\because B C=6, \therefore C(6,0)$ ，
$\because|A B|=3, \angle A B C=60^{\circ}, \therefore A$ 的坐标为 $A\left(\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ ，
$\because$ 又 $\because \overrightarrow{A D}=\frac{1}{6} \overrightarrow{B C}$ ，则 $D\left(\frac{5}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ ，设 $M(x, 0)$ ，则 $N(x+1,0)$（其中 $0 \leq x \leq 5$ ），
$\overrightarrow{D M}=\left(x-\frac{5}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{D N}=\left(x-\frac{3}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$,
$\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}=\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}=x^{2}-4 x+\frac{21}{2}=(x-2)^{2}+\frac{13}{2}$,
所以，当 $x=2$ 时， $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 取得最小值 $\frac{13}{2}$ ．
故答案为：$\frac{1}{6} ; ~ \frac{13}{2}$ ．
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题。