已知数列 a _ n 的各项均为正数，记 S _ n 为…——2021 高考数学第 18 题答案解析

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】选①②作条件证明③时，可设出 $\sqrt { S _ { n } }$ ，结合 $a _ { n } , S _ { n }$ 的关系求出 $a _ { n }$ ，利用 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列可证$a _ { 2 } = 3 a _ { 1 }$ ；

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 $\sqrt { S _ { n } }$ ，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出 ${ \sqrt { S _ { n } } } = a n + b$ ，结合 $a _ { n } , S _ { n }$ 的关系求出 $a _ { n }$ ，根据 $a _ { 2 } = 3 a _ { 1 }$ 可求b，然后可证 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列.

【详解】选①②作条件证明③：

设 ${ \sqrt { S _ { n } } } = a n + b ( a > 0 )$ ，则 $S _ { n } = \left( a n + b \right) ^ { 2 }$

当 $n = 1$ 时， $a _ { 1 } = S _ { 1 } = \left( a + b \right) ^ { 2 }$

当 $n \geq 2$ 时， $a _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } = \left( a n + b \right) ^ { 2 } - \left( a n - a + b \right) ^ { 2 } = a \left( 2 a n - a + 2 b \right)$

因为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 也是等差数列，所以 ${ ( a + b ) } ^ { 2 } = a { \bigl ( } 2 a - a + 2 b { \bigr ) }$ ，解得 $b = 0$

所以 $a _ { n } = a ^ { 2 } \left( 2 n - 1 \right)$ ，所以 $a _ { 2 } = 3 a _ { 1 }$

选①③作条件证明②：

因为 $a _ { 2 } = 3 a _ { 1 } , \left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列，

所以公差 $d = a _ { 2 } - a _ { 1 } = 2 a _ { 1 }$

所以 $S _ { n } = n a _ { 1 } + \frac { n \left( n - 1 \right) } { 2 } d = n ^ { 2 } a _ { 1 }$ ，即 ${ \sqrt { S _ { n } } } = { \sqrt { a _ { 1 } } } n$

因为 ${ \sqrt { S _ { n + 1 } } } - { \sqrt { S _ { n } } } = { \sqrt { a _ { 1 } } } \left( n + 1 \right) - { \sqrt { a _ { 1 } } } n = { \sqrt { a _ { 1 } } }$

所以 $\left\{ { \sqrt { S _ { n } } } \right\}$ 是等差数列.

选②③作条件证明①：

设 ${ \sqrt { S _ { n } } } = a n + b ( a > 0 )$ ，则 $S _ { n } = \left( a n + b \right) ^ { 2 }$

当 $n = 1$ 时， $a _ { 1 } = S _ { 1 } = \left( a + b \right) ^ { 2 }$

当 $n \geq 2$ 时， $a _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } = \left( a n + b \right) ^ { 2 } - \left( a n - a + b \right) ^ { 2 } = a \left( 2 a n - a + 2 b \right)$

因为 $a _ { 2 } = 3 a _ { 1 }$ ，所以 $a { \big ( } 3 a + 2 b { \big ) } = 3 { \big ( } a + b { \big ) } ^ { 2 }$ ，解得 $b = 0$ 或 $b = - { \frac { 4 a } { 3 } }$

当 $b = 0$ 时， $a _ { 1 } = a ^ { 2 } , a _ { n } = a ^ { 2 } \left( 2 n - 1 \right)$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a _ { n } - a _ { n - 1 } = 2 a ^ { 2 }$ 满足等差数列的定义，此时 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列；

当 $b = - { \frac { 4 a } { 3 } }$ 时， $\sqrt { S _ { n } } = a n + b = a n - \frac { 4 } { 3 } a , \sqrt { S _ { 1 } } = - \frac { a } { 3 } < 0$ 不合题意，舍去.

综上可知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列.

【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.