某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和…_2020全国高考数学第18题答案解析 | 高考真题检索

Question

18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级	[0,200]	(200，400]	(400,600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

附： $K ^ { 2 } = \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) }$

P(K2≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Accepted Answer

(1) 该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09; (2) 350; (3) 有，理由见解析

【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 ；（2）350；③有，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；

（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；

（3）根据表格中的数据完善 $2 \times 2$ 列联表，计算出 $K ^ { 2 }$ 的观测值，再结合临界值表可得结论.

【详解】①由频数分布表可知，该市一天空气质量等级为的 1的概率为

$\frac { 2 + 1 6 + 2 5 } { 1 0 0 } = 0 . 4 3$ ，等级为2的概率为 $\frac { 5 + 1 0 + 1 2 } { 1 0 0 } = 0 . 2 7$ ，等级为3的概率为$\frac { 6 + 7 + 8 } { 1 0 0 } = 0 . 2 1$ ，等级为4的概率为 $\frac { 7 + 2 + 0 } { 1 0 0 } = 0 . 0 9$ ；

> ②由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为$\frac { 1 0 0 \times 2 0 + 3 0 0 \times 3 5 + 5 0 0 \times 4 5 } { 1 0 0 } = 3 5 0$

（3）2 2´ 列联表如下：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>人次≤400</td><td rowspan=1 colspan=1>人次>400</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>空气质量不好</td><td rowspan=1 colspan=1>33</td><td rowspan=1 colspan=1>37</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>空气质量好</td><td rowspan=1 colspan=1>22</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td></tr></table>

$$ K ^ { 2 } = \frac { 1 0 0 \times \left( 3 3 \times 8 - 3 7 \times 2 2 \right) ^ { 2 } } { 5 5 \times 4 5 \times 7 0 \times 3 0 } \approx 5 . 8 2 0 > 3 . 8 4 1 , $$

因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和…——2020 高考数学第 18 题答案解析

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