2008_退役省自主命题 (2008·理)
16．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=A \sin (x+\varphi)(A>0,0<\varphi<\pi), x \in \mathbf{R}$ 的最大值是 1 ，其图像经过点 $M\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$.
（1）求 $f(x)$ 的解析式；（2）已知 $\alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $f(\alpha)=\frac{3}{5}, f(\beta)=\frac{12}{13}$ ，求 $f(\alpha-\beta)$ 的值．
见解析
【解析】（1）依题意有 $A=1$ ，则 $f(x)=\sin (x+\varphi)$ ，
将点 $M\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 代入得 $\sin \left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=\frac{1}{2}$ ，
而 $0<\varphi<\pi, \quad \therefore \frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{5}{6} \pi, \quad \therefore \varphi=\frac{\pi}{2}$ ，
故 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$ ；
> （2）依题意有 $\cos \alpha=\frac{3}{5}, \cos \beta=\frac{12}{13}$ ，而 $\alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
$$ \begin{aligned} & \therefore \sin \alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5}, \sin \beta=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^{2}}=\frac{5}{13} \\ & \quad f(\alpha-\beta)=\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}+\frac{4}{5} \times \frac{5}{13}=\frac{56}{65} \end{aligned} $$
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。