10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $\pi$
Day）．历史上，求圆周率 $\pi$ 的方法有多种，与中国传统数学中的＂割圆术＂相似。数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数 $n$ 充分大时，计算单位圆的内接正 $6 n$ 边形的周长和外切正 $6 n$ 边
形（各边均与圆相切的正 $6 n$ 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2 \pi$ 的近似值。按照阿尔•卡西的方法，$\pi$ 的近似值的表达式是（ ）。
参考答案
A
2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．…——2020 高考数学第 10 题答案解析
2020_北京卷 (2020)
题目指纹
这道题真正考什么？
关键能力
三角
难度
区分题
先及格路线 · 高中数学 · 高难题
如果目标是先及格，这道题现在可以先放。
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
完整解析 · 逐步详解
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出单位圆内接正 $6 n$ 边形和外切正 $6 n$ 边形的周长，利用它们的算术平均数作为 $2 \pi$ 的近似值可得出结果。
【详解】单位圆内接正 $6 n$ 边形的每条边所对应的圆周角为 $\frac{360^{\circ}}{n \times 6}=\frac{60^{\circ}}{n}$ ，每条边长为 $2 \sin \frac{30^{\circ}}{n}$ ，
所以，单位圆的内接正 $6 n$ 边形的周长为 $12 n \sin \frac{30^{\circ}}{n}$ ，
单位圆的外切正 $6 n$ 边形的每条边长为 $2 \tan \frac{30^{\circ}}{n}$ ，其周长为 $12 n \tan \frac{30^{\circ}}{n}$ ，
$\therefore 2 \pi=\frac{12 n \sin \frac{30^{\circ}}{n}+12 n \tan \frac{30^{\circ}}{n}}{2}=6 n\left(\sin \frac{30^{\circ}}{n}+\tan \frac{30^{\circ}}{n}\right)$ ，
则 $\pi=3 n\left(\sin \frac{30^{\circ}}{n}+\tan \frac{30^{\circ}}{n}\right)$ ．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周率 $\pi$ 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 $6 n$ 边形和外切正 $6 n$ 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题．
✅ 来源：2020年 · 北京 · 2020_北京卷 (2020) · 第 10 题 · 本题已通过全部自动发布校验
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