审题不清高考易错题

15．已知 $M=\left\{k \mid a_{k}=b_{k}\right\}, a_{n}, b_{n}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是
①$a_{n}, b_{n}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多一个元素；
②$a_{n}, b_{n}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
③$a_{n}$ 为等差数列，$b_{n}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
④$a_{n}$ 单调递增，$b_{n}$ 单调递减，则 $M$ 中最多一个元素．

21．设集合 $M=\{(i, j, s, t)|i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, s \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}, 2|(i+j+s+t)\}$ ．对于给定有穷数列 $A:\left\{a_{n}\right\}(1 \leq n \leq 8)$ ，及序列 $\Omega: \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{s}, \omega_{k}=\left(i_{k}, j_{k}, s_{k}, t_{k}\right) \in M$ ，定义变换 $T:$ 将数列 A 的第 $i_{1}, j_{1}, s_{1}, t_{1}$ 项加 1 ，得到数列 $T_{1}(A)$ ；将数列 $T_{1}(A)$ 的第 $i_{2}, j_{2}, s_{2}, t_{2}$ 列加1，得到数列 $T_{2} T_{1}(A) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T_{s} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ ，记为 $\Omega(A)$ ．
（1）给定数列 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$ ，写出 $\Omega(A)$ ；
（2）是否存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_{1}+2, a_{2}+6, a_{3}+4, a_{4}+2, a_{5}+8, a_{6}+2, a_{7}+4, a_{8}+4$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$ ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 A 的各项均为正整数，且 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，证明：＂存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为常数

列＂的充要条件为＂$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$＂．

5．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：

（1）填写如下列联表：

能否有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 $99 \%$ 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$ ，设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率．如果
$\bar{p}>p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了 $? ~(\sqrt{150} \approx 12.247)$

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

1．集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\{2,3,4,5\}$ ，则 $A \cap B=$

2．设 $a, b \in \mathbf{R}$ ，则＂$a^{3}=b^{3}$＂是＂ $3^{a}=3^{b}$＂的

3．下列图中，相关性系数最大的是

8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）

13．$A, B, C, D, E$ 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．①甲选到 A 的概率为 $\_\_\_\_$ ；已知乙选了 A活动，他再选择 $B$ 活动的概率为 $\_\_\_\_$。

9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}=2.1$ ，样本方差 $s^{2}=0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N\left(1.8,0.1^{2}\right)$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\bar{x}, s^{2}\right)$ ，则（ ）（若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(u, \sigma^{2}\right)$ ， $P(Z

4．某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表

据表中数据，结论中正确的是（

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若 $p=0.4, q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率．
（2）假设 $0（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

4．下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是（ ）

6．已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x=-3$ 的距离为 5 ，则 $|M F|=$

9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美。如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形。若 $A B=25 \mathrm{~m}, B C=A D=10 \mathrm{~m}$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的＂环权＂．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_{1}=1, a_{5}=12, a_{9}=192$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ；数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 所有项的和为
$\_\_\_\_$ ．

18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用＂＋＂表示＂上涨＂，即当天价格比前一天价格高；用＂－＂表示＂下跌＂，即当天价格比前一天价格低；用＂ 0 ＂表示＂不变＂，即当天价格与前一天价格相同。

用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格＂上涨＂的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天＂上涨＂、 1 天＂下跌＂、 1 天＂不变＂的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格＂上涨＂＂下跌＂和＂不变＂的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）

21．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的项数均为 $m(m>2)$ ，且 $a_{n}, b_{n} \in\{1,2, \cdots, m\},\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}, B_{n}$ ，并规定 $A_{0}=B_{0}=0$ 。对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，定义 $r_{k}=\max \left\{i \mid B_{i} \leq A_{k}, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}$ ，其中， $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．
（1）若 $a_{1}=2, a_{2}=1, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=3$ ，求 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 的值；
（2）若 $a_{1} \geq b_{1}$ ，且 $2 r_{j} \leq r_{j+1}+r_{j-1}, j=1,2, \cdots, m-1$ ，求 $r_{n}$ ；
（3）证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，满足 $p>q, s>t$ ，使得 $A_{p}+B_{t}=A_{q}+B_{s}$ ．

1．设集合 $A=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}, B=\{x \mid x=3 k+2, k \in Z\}$ ，$U$ 为整数集， ð $(A \bigcup B)=$

3．执行下面的程序框遇，输出的 $B=$

6．有 50 人报名足球俱乐部， 60 人报名乒乓球俱乐部， 70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为

7．＂ $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=1$＂是＂ $\sin \alpha+\cos \beta=0$＂的

14．设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+3 y \leq 3 \\ 3 x-2 y \leq 3 \\ x+y \geq 1\end{array}\right.$ ，设 $z=3 x+2 y$ ，则 $z$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

18．在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=2, A_{1} C \perp$ 底面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}, A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 1.

（1）求证：$A C=A_{1} C$ ；
（2）若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为 2 ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组 （加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）测得 40 只小鼠体重如下（单位： g ）：（已按从小到大排好）
对照组： $17.3 \quad 18.4 \quad 20.1 \quad 20.4 \quad 21.5 \quad 23.2 \quad 24.6 \quad 24.8 \quad 25.0 \quad 25.4$
$\begin{array}{llllllllll}26.1 & 26.3 & 26.4 & 26.5 & 26.8 & 27.0 & 27.4 & 27.5 & 27.6 & 28.3\end{array}$

（i）求 40 只小鼠体重的中位数 $m$ ，并完成下面 $2 \times 2$ 列联表：

（ii）根据 $2 \times 2$ 列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。
参考数据：

4．某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名。从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）

7．设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ ，则 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=$

19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
$\begin{array}{llllllllll}15.2 & 18.8 & 20.2 & 21.3 & 22.5 & 23.2 & 25.8 & 26.5 & 27.5 & 30.1\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}32.6 & 34.3 & 34.8 & 35.6 & 35.6 & 35.8 & 36.2 & 37.3 & 40.5 & 43.2\end{array}$
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

$\begin{array}{llllllllll}7.8 & 9.2 & 11.4 & 12.4 & 13.2 & 15.5 & 16.5 & 18.0 & 18.8 & 19.2\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}19.8 & 20.2 & 21.6 & 22.8 & 23.6 & 23.9 & 25.1 & 28.2 & 32.3 & 36.5\end{array}$
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（i）求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 $m$ ，再分别统计两样本中小于 $m$ 与不小于 $m$ 的数据的个数，完成如下列联表

（ii）根据（i）中的列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

5．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点，记该点为 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

11．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

17．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_{i}, y_{i}(i=1,2, \cdots 10)$ ，试验结果如下

记 $z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1,2, \cdots, 10)$ ，记 $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，

（1）求 $\bar{z}, s^{2}$ ；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 $\bar{z} \geq 2 \sqrt{\frac{s^{2}}{10}}$ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）。

3．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该零件的表面积为

6．正方形 $A B C D$ 的边长是 $2, E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=$

7．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

9．某学校举办作文比赛，共 6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

16．已知点 $S, A, B, C$ 均在半径为 2 的球面上，$\triangle A B C$ 是边长为 3 的等边三角形，$S A \perp$ 平面 $A B C$ ，则 $S A=$ $\_\_\_\_$ ．

17．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_{i}, y_{i}(i=1,2, \cdots, 10)$ ．试验结果如下：

记 $z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1,2, \cdots, 10)$ ，记 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ．
（1）求 $\bar{z}, s^{2}$ ；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 $\bar{z} \geq 2 \sqrt{\frac{s^{2}}{10}}$ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，

否则不认为有显著提高）

19．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}, B P, A P, B C$ 的中点分别为 $D, E, O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，$B F \perp A O$ ．

（1）求证：$E F / /$ 平面 $A D O$ ；
（2）若 $\angle P O F=120^{\circ}$ ，求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．

2．＂$a^{2}=b^{2}$＂是＂$a^{2}+b^{2}=2 a b$＂的（ ）