2014_退役省自主命题 (2014·文)
16．（本小题满分 13 分．（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，$S_{n}$ 表示 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（I）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$；
（II）设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，公比 $q$ 满足 $q^{2}-\left(a_{4}+1\right) q+S_{4}=0$，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$项和 $T_{n}$．
（I）$a_{n}=2 n-1, S_{n}=n^{2}$；（II）$b_{n}=2^{2 n-1}, T_{n}=\frac{2}{3}\left(4^{n}-1\right)$．
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（I）$a_{n}=2 n-1, S_{n}=n^{2}$；（II）$b_{n}=2^{2 n-1}, T_{n}=\frac{2}{3}\left(4^{n}-1\right)$．
【解析】
试题分析：（I）已知等差数列的首项和公差，可直接利有公式 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d, S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d$ 求解．
（II）利用（I）的结果求出 $a_{4}, S_{4}$，解方程 $q^{2}-\left(a_{4}+1\right) q+S_{4}=0$ 得出等比数 $\left\{b_{n}\right\}$ 列的公比 $q$ 的值，
从而可直接由公式 $b_{n}=b_{1} \cdot q^{n-1}, T_{n}=\left\{\begin{array}{ll}n b_{1} & (q=1) \\ \frac{b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q} & (q \neq 1)\end{array}\right.$ 求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $T_{n}$．
试题解析：
解：（I）因为 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项 $a_{1}=1$，公差 $d=2$ 的等差数列，所以
$a_{n}=a_{1}+(n-1) d=2 n-1$
故，$S_{n}=1+3+\cdots+(2 n-1)=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=\frac{n(1+2 n-1)}{2}=n^{2}$
（II）由（I）得，$a_{4}=7, S_{4}=16$．因为 $q^{2}-\left(a_{4}+1\right) q+S_{4}=0$，即 $q^{2}-8 q+16=0$
所以 $(q-4)^{2}=0$，从而 $q=4$。
又因 $b_{1}=2$，是 $\left\{b_{n}\right\}$ 公比 $q=4$ 的等比数列，所以 $b_{n}=b_{1} q^{n-1}=2 \cdot 4^{n-1}=2^{2 n-1}$
从而 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}=\frac{b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{2}{3}\left(4^{n}-1\right)$
考点：1、等差数列的通项公式与前 $n$ 项和公式；2、等比数列的通项公式与前 $n$ 项和公式