如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 A…——2025 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
> (1)2π

> (2) 证明见解析

【分析】①由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.

> (2)证明平面QOC∥平面PBD，然后根据面面平行的性质可得.

【小问1详解】

$$ \angle P A B = \frac { \pi } { 3 } $$

$$ \triangle A B P $$

$$ P A = A B = 2 $$

底面周长为 $2 \pi \times 1 = 2 \pi$ ，则侧面积为： $\frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 \pi = 2 \pi$

【小问2详解】

由题知 $A Q = Q P , A O = O B$ ，则根据中位线性质， $Q O / / P B$

又 $Q O \mathscr { L }$ 平面 $P B D , P B C$ 平面PBD,则 $Q O / /$ 平面 PBD

由于 ${ \widehat { A C } } = { \frac { \pi } { 3 } }$ ，底面圆半径是1，则 $\angle A O C = \frac { \pi } { 3 }$ ,又 $C D / / A B$ ,则 $\angle O C D = \frac { \pi } { 3 }$

又 $O C = O D$ ，则△OCD为等边三角形，则 $C D = 1$

于是 $C D / / B O$ 且 $C D = O B$ ，则四边形OBDC是平行四边形，故 $O C / / B D$

又OC∉平面 $P B D , B D \subset$ 平面 PBD,故 $O C / /$ 平面 PBD.

又 $O C \cap O Q = O , O C , O Q \subset$ 平面 $Q O C$

根据面面平行的判定，于是平面 $Q O C / /$ 平面 $P B D$

又 $M \in O C$ ,则 $Q M \subset$ 平面QOC,则 $Q M / /$ 平面PBD