直线、平面平行的判定与性质　·　历年高考数学真题与解析

18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 $A B = 2$

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，求圆锥的侧面积；

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ${ \frac { \pi } { 3 } } , C D / / A B$ 设点M在线段OC上，证明:直线QM∥/平面PBD.

10．设 $\alpha , \beta$ 是两个平面，$m , n$ 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta=m$ ．下列四个命题：
①若 $m / / n$ ，则 $n / / \alpha$ 或 $n / / \beta$
②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
③若 $n / / \alpha$ ，且 $n / / \beta$ ，则 $m / / n$
④若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$
其中所有真命题的编号是（ ）

10．设 $\alpha , \beta$ 是两个平面，$m , n$ 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta=m$ ．下列四个命题：
①若 $m / / n$ ，则 $n / / \alpha$ 或 $n / / \beta$
②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
③若 $n / / \alpha$ ，且 $n / / \beta$ ，则 $m / / n$
④若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$其中所有真命题的编号是（ ）

16．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求点 $M$ 到 $A B F$ 的距离．

17．已知四棱锥 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点， $P E \perp A D$ ．

（1）若 $F$ 是 $P E$ 中点，证明：$B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）若 $A B \perp$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

17．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3}$ ．

（1）若 $A D \perp P B$ ，证明：$A D / /$ 平面 $P B C$ ；
（2）若 $A D \perp D C$ ，且二面角 $A-C P-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $A D$ ．

18．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A A_{1}=4$ ．点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 上，$A A_{2}=1, B B_{2}=D D_{2}=2, C C_{2}=3$ 。

（1）证明：$B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ；
（2）点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P-A_{2} C_{2}-D_{2}$ 为 $150^{\circ}$ 时，求 $B_{2} P$ ．

19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为 8 （单位： cm ）的正方形，$\triangle E A B, \triangle F B C, \triangle G C D, \triangle H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直。

（1）证明：$E F / /$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

6．如图已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, M, N$ 分别是 $A_{1} D, D_{1} B$ 的中点，则（ ）

16．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为 $B B_{1}$ 的中点．

（I）求证：$B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；
（II）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为 $O$ ），地球上一点 $A$ 的纬度是指 $O A$ 与地球赤道所在平面所成角，点 $A$ 处的水平面是指过点 $A$ 且与 $O A$ 垂直的平面。在点 $A$ 处放置一个日㬍，若暑面与赤道所在平面平行，点 $A$ 处的纬度为北纬 $40^{\circ}$ ，则晷针与点 $A$ 处的水平面所成角为

12．（5 分）已知 $l, m$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
（1）$l \perp m$ ；（2）$m / / \alpha$ ；（3）$l \perp \alpha$ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： $\_\_\_\_$若 $l \perp \alpha, l \perp m$ ，则 $m / / \alpha$ 。

13．（5 分）已知 $l, m$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
（1）$l \perp m$ ；（2）$m / / \alpha$ ；（3）$l \perp \alpha$ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若 $l \perp \alpha, l \perp m$ ，则 $m / / \alpha$ 。

16．（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点，$A B=B C$ ．
求证：（1）$A_{1} B_{1} / /$ 平面 $D E C_{1}$ ；
②$B E \perp C_{1} E$ ．

18．如图，直四棱柱 $A B C D-$
$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，$A A_{1}=4, A B=2, \angle B A D=60^{\circ}, E, M, N$ 分别是 $B C, B B_{1}, A_{1} D$ 的中点。

（1）证明：$M N / /$ 平面 $C_{1} D E$ ；
（2）求二面角 $A-M A_{1}-N$ 的正弦值．

19．如图，直四棱柱 $A B C D-$
$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，$A A_{1}=4, A B=2, \angle B A D=60^{\circ}, E, M, N$ 分别是 $B C, B B_{1}, A_{1} D$ 的中点。

（1）证明：$M N / /$ 平面 $C_{l} D E$ ；
（2）求点 $C$ 到平面 $C_{l} D E$ 的距离．

7．设 $\alpha, \beta$ 为两个平面，则 $\alpha / / \beta$ 的充要条件是

7．设 $\alpha, \beta$ 为两个平面，则 $\alpha / / \beta$ 的充要条件是

6．（5分）如图，在下列四个正方体中， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为正方体的两个顶点， $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{Q}$为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是

18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{PAB}=90^{\circ}, \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}, \mathrm{E}$ 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 $90^{\circ}$。
（I）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 $\mathrm{CM} / /$ 平面 PBE，．并说明理由；
（II）若二面角 $P-C D-A$ 的大小为 $45^{\circ}$，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．

18．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 $B C$ 的中点为 $M, G H$的中点为 $N$
（1）请将字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线 $M N / /$ 平面 $B D H$
（3）求二面角 $A-E G-M$ 的余弦值．

18．（14分）如图，在三棱锥 $V-A B C$ 中，平面 $V A B \perp$ 平面 $A B C, \triangle V A B$ 为等边三角形，$A C \perp B C$ 且 $A C=B C=\sqrt{2}, O, M$ 分别为 $A B, V A$ 的中点。

（1）求证：$V B / /$ 平面 $M O C$ ；
（2）求证：平面 $M O C \perp$ 平面 $V A B$
（3）求三棱锥 V－ABC的体积．

4．（5 分）设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，$m$ 是直线且 $m \subset \alpha, ~ " m / / \beta$＂是＂$\alpha / / \beta$＂的

18．（12分）如图，四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为矩形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{E}$为 PD 的中点．
（I）证明： $\mathrm{PB} \|$ 平面 AEC ；
（II）设二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{AE}-\mathrm{C}$ 为 $60^{\circ}, \mathrm{AP}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{ACD}$ 的体积。

20．（本小题满分 13 分）
如图，某地质队自水平地面 $A, B, C$ 三处垂直向地下钻探，自 $A$ 点向下钻到 $A_{1}$ 处发现矿藏，再继续下钻到 $A_{2}$ 处后下面已无矿，从而得到在 $A$ 处正下方的矿层厚度为 $A_{1} A_{2}=d_{1}$。同样可

得在 $B, C$ 处正下方的矿层厚度分别为 $B_{1} B_{2}=d_{2}, C_{1} C_{2}=d_{3}$，且 $d_{1}<d_{2}<d_{3}$．过 $A B, A C$的中点 $M, N$ 且与直线 $A A_{2}$ 平行的平面截多面体 $A_{1} B_{1} C_{1}-A_{2} B_{2} C_{2}$ 所得的截面 $D E F G$ 为该多面体的一个中截面，其面积记为 $S_{\text {中 }}$．
（I）证明：中截面 $D E F G$ 是梯形；
（II）在 $\triangle A B C$ 中，记 $B C=a, B C$ 边上的高为 $h$，面积为 $S$．在估测三角形 $A B C$ 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 $A_{1} B_{1} C_{1}-A_{2} B_{2} C_{2}$ 的体积 $V$ ）时，可用近似公式 $V_{\text {估 }}=S_{\text {中 }} \cdot h$ 来估算．已知 $V=\frac{1}{3}\left(d_{1}+d_{2}+d_{3}\right) S$，试判断 $V_{\text {估 }}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明．

第 20 题图

（18）（本题 14 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互
相垂直， $\mathrm{BE} / / \mathrm{CF}, \angle \mathrm{BCF}=\angle \mathrm{CEF}=90^{\circ}, \mathrm{AD}=\sqrt{3}, \mathrm{EF}=2$ 。
（I）求证： $\mathrm{AE} / /$ 平面 DCF ；
（II）当 AB 的长为何值时，二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的大小为 $60^{\circ}$ ？

（第18题）