条件未代回高考易错题

7．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0, \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}} \leqslant 1$ 。记 $b_{1}=S_{2}, b_{n+1}=S_{n+2}-S_{2 n}, n \in \mathrm{~N} *$ ，下列等式不可能成立的是（ ）

7．已知曲线 $y=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$ ，则

21．已知曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{2}, D$ ，为直线 $y=-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．
（1）证明：直线 $A B$ 过定点：
（2）若以 $E\left(0, \frac{5}{2}\right)$ 为圆心的圆与直线 $A B$ 相切，且切点为线段 $A B$ 的中点，求该圆的方程。

18．（14分）如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为矩形，平面 $\mathrm{PAD} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{PA} \perp \mathrm{PD}, \mathrm{PA}=\mathrm{PD}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别为 $\mathrm{AD}, \mathrm{PB}$ 的中点．
（I）求证： $\mathrm{PE} \perp \mathrm{BC}$ ；
（II）求证：平面 $\mathrm{PAB} \perp$ 平面 PCD ；
（III）求证： $\mathrm{EF} \|$ 平面 PCD ．

20．（14 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．斜率为 k 的直线 $l$ 与椭圆 M 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ．
（I）求椭圆 M 的方程；
（II）若 $\mathrm{k}=1$ ，求 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值；
（III）设 $\mathrm{P}(-2,0)$ ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M的另一个交点为 D．若 C，D 和点 Q（ $-\frac{7}{4}, \frac{1}{4}$ ）共线，求 k ．

5．（ 5 分）为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\widehat{\mathrm{y}}=\widehat{\mathrm{b}} x+\widehat{\mathrm{a}}$ ，已知 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=225, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}=1600, \widehat{\mathrm{~b}} =4$ ，该班某学生的脚长为 24 ，据此估计其身高为

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A(a, 0), B (0, b), ~ O(0,0), ~ \triangle O A B$ 的面积为 1 ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ．求证：$|A N| \cdot|B M|$ 为定值．

5．（5分）（2016•天津）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则＂ $\mathrm{q}<0$＂是＂对任意的正整数 $\mathrm{n}, ~ \mathrm{a}_{2 \mathrm{n}-1^{+}} \mathrm{a}_{2 \mathrm{n}}<0^{\prime \prime}$ 的（ ）

18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．
已知 $|A B|=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|F_{1} F_{2}\right|$ ．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

15．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 MN 的中点在 C 上，则 $|A N|+|B N|=$ $\_\_\_\_$ ．

22．（10分）如图， P 是 $\odot \mathrm{O}$ 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}, \mathrm{D}$ 为 PC 的中点， AD 的延长线交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ，证明：
（ I ） $\mathrm{BE}=\mathrm{EC}$ ；
（ II ）$A D \cdot D E=2 P B^{2}$ ．

17．（10分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $S_{3}=a_{2}{ }^{2}$ ，且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项式。

22、（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲
如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A ，过 A 作直线 AP 垂直直线 OM ，垂足为 P 。
（1）证明： $\mathrm{OM} \cdot \mathrm{OP}=\mathrm{OA}^{2}$ ；
②$N$ 为线段 $A P$ 上一点，直线 $N B$ 垂直直线 $O N$ ，且交圆 $O$ 于 $B$ 点。过 $B$ 点的切线交直线 $O N$ 于 $K$ 。证明：$\angle \mathrm{OKM}=90^{\circ}$ 。

22．（14分）（2008 • 山东）如图，设抛物线方程为 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py} ~(\mathrm{p}>0), \mathrm{M}$ 为直线 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{p}$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A, B$。
（I）求证： $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 三点的横坐标成等差数列；
（II）已知当 M 点的坐标为 $(2,-2 \mathrm{p})$ 时，$|\mathrm{AB}|=4 \sqrt{10}$．求此时抛物线的方程；
（III）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py}(\mathrm{p}>0)$ 上，其中，点 C 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（ O 为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

## 2008年山东省高考数学试卷（理科）