（18）（本小题满分 12 分） 已知等差数列 a_ n…——2010 高考数学第 18 题答案解析

（I）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。
由等差数列性质知 $a_5 + a_7 = 2a_6$，故 $2a_6 = 26$，解得 $a_6 = 13$。
又已知 $a_3 = 7$，则公差 $d = \frac{a_6 - a_3}{6 - 3} = \frac{13 - 7}{3} = 2$。
所以 $a_4 = a_3 + d = 7 + 2 = 9$。
首项 $a_1 = a_3 - 2d = 7 - 4 = 3$。
通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$。
前 $n$ 项和 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(3 + 2n + 1)}{2} = \frac{n(2n + 4)}{2} = n(n + 2)$。

（II）由（I）知 $a_n = 2n + 1$，则
$b_n = \frac{1}{a_n^2 - 1} = \frac{1}{(2n+1)^2 - 1} = \frac{1}{4n^2 + 4n} = \frac{1}{4n(n+1)}$。
利用裂项相消法，将通项变形为：
$b_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$。
则数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 为：
$T_n = \sum_{k=1}^n b_k = \frac{1}{4} \left[ \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \right]$
中间项相互抵消，得：
$T_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{n}{4(n+1)}$。