如图，在四边形 ABCD中， 60 , 3B AB°Ð =…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
如图，在四边形 ABCD中， 60 , 3B AB°Ð = =， $6BC=$，且 $3,2AD BC AD ABl=$ × = -uuu r uuu r uuu r uuu r
，则实
数l的值为_________，若 ,M N是线段BC上的动点，且| | $1MN=uuuu r$
，则DM DN×uuuu r uuur
的最小值为_________
．
【答案】 (1). 16
(2). 132
【解析】
【分析】
可得 120BADÐ =o，利用平面向量数量积的定义求得l的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为
x轴建立平面直角坐标系，设点 ,0M x，则点 1,0N x+（其中0 5x£ £），得出DM DN×uuuu r uuur
关于x的
函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN×uuuu r uuur
的最小值.
【详解】 $AD BCl=uuu r uuu rQ$， //AD BC\， 180 120BAD B\Ð = - Ð =o o，
的

cos120AB AD BC AB BC ABl l× = × = ×ouuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r1 36 3 92 2l læ ö= ´ ´ ´ - = - = -ç ÷è ø
，
解得 $16l=$，
以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，
$6 6,0BC C= \Q$，,
∵ $3, 60AB ABC=$ Ð = °，∴ A的坐标为 3 3 3,2 2Aæ öç ÷ç ÷è ø
,
∵又∵ $16AD BC=uuu r uuu r$
,则
5 3 3,2 2Dæ öç ÷ç ÷è ø
，设 ,0M x，则 1,0N x+（其中0 5x£ £），
5 3 3,2 2DM xæ ö= - -ç ÷è øuuuu r
，
3 3 3,2 2DN xæ ö= - -ç ÷è øuuur
，
2225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x xæ öæ öæ ö× = - - + = - + = - +ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øè øè øuuuu r uuur
，
所以，当 $2x=$时，DM DN×uuuu r uuur
取得最小值132
.
故答案为：16
；132
.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于
中等题.