2008_退役省自主命题 (2008·文)
19．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n},\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，
$b_{1}=1$ ，且 $b_{2} S_{2}=64$ ，
$b_{3} S_{3}=960$.
（1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；
（2）求和：$\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots+\frac{1}{S_{n}}$ ．
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
> ①设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d,\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，则 $d$ 为正整数，
$a_{n}=3+(n-1) d, b_{n}=q^{n-1}$
依题意有 $\left\{\begin{array}{c}S_{3} b_{3}=(9+3 d) q^{2}=960 \\ S_{2} b_{2}=(6+d) q=64\end{array}\right.$（1）
解得 $\left\{\begin{array}{l}d=2 \\ q=8\end{array}\right.$, 或 $\left\{\begin{array}{l}d=-\frac{6}{5} \\ q=\frac{40}{3}\end{array}\right.$（舍去）
故 $a_{n}=3+2(n-1)=2 n+1, b_{n}=8^{n-1}$
> ②$S_{n}=3+5+\cdots+(2 n+1)=n(n+2)$
$\therefore \frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots+\frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{2 \times 4}+\frac{1}{3 \times 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+2)}$
$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{2 n+3}{2(n+1)(n+2)}$