2020_北京卷
17.在 $\triangle A B C$ 中， $a + b = 1 1$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）sinC和 $\triangle A B C$ 的面积
条件①： $c = 7 , \cos A = - { \frac { 1 } { 7 } }$
条件②： $\cos A = \frac { 1 } { 8 } , \cos B = \frac { 9 } { 1 6 }$
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） $\sin C = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } , S = 6 { \sqrt { 3 } }$ 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） $\sin C = { \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } } , S = { \frac { 1 5 { \sqrt { 7 } } } { 4 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） $\sin C = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } , S = 6 { \sqrt { 3 } }$
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） $\sin C = { \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } } , S = { \frac { 1 5 { \sqrt { 7 } } } { 4 } }$
【解析】
【分析】
选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sinC,最后根据三角形面积公式求结果；
选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sinA B，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sinC，再根据三角形面积公式求结果.
【详解】选择条件①（Ⅰ） $\because c = 7 , \cos A = - { \frac { 1 } { 7 } } , a + b = 1 1$
$$ \therefore a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b c \cos A \therefore a ^ { 2 } = ( 1 1 - a ) ^ { 2 } + 7 ^ { 2 } - 2 ( 1 1 - a ) \cdot 7 \cdot ( - { \frac { 1 } { 7 } } ) $$
$$ \therefore a = 8 $$
$$ ( \mathrm { ~ I I ~ } ) \ \because \cos A = - \frac { 1 } { 7 } , A \in ( 0 , \pi ) \therefore \sin A = \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } A } = \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 7 } $$
${ \frac { a } { \sin A } } = { \frac { c } { \sin C } } \therefore { \frac { 8 } { \frac { 4 { \sqrt { 3 } } } { 7 } } } = { \frac { 7 } { \sin C } }$ sin\ $C = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ 由正弦定理得：
$$ S = \frac { 1 } { 2 } b a \sin C = \frac { 1 } { 2 } ( 1 1 - 8 ) \times 8 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 6 \sqrt { 3 } $$
选择条件② $( \mathrm { ~ I ~ } ) { \bf \nabla } \because \cos A = \frac { 1 } { 8 } , \cos B = \frac { 9 } { 1 6 } , A , B \in ( 0 , \pi )$
$$ \therefore \sin A = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } A } } = { \frac { 3 { \sqrt { 7 } } } { 8 } } , \sin B = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } B } } = { \frac { 5 { \sqrt { 7 } } } { 1 6 } } $$
由正弦定理得： ${ \frac { a } { \sin A } } = { \frac { b } { \sin B } } \therefore { \frac { a } { \frac { 3 { \sqrt { 7 } } } { 8 } } } = { \frac { 1 1 - a } { \frac { 5 { \sqrt { 7 } } } { 1 6 } } } \therefore a = 6$
$$ ( \mathrm { I I ~ } ) \ \sin C = \sin ( A + B ) = \sin A \cos B + \sin B \cos A = \frac { 3 \sqrt { 7 } } { 8 } \times \frac { 9 } { 1 6 } + \frac { 5 \sqrt { 7 } } { 1 6 } \times \frac { 1 } { 8 } = \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } $$
$$ S = \frac { 1 } { 2 } b a \sin C = \frac { 1 } { 2 } ( 1 1 - 6 ) \times 6 \times \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } = \frac { 1 5 \sqrt { 7 } } { 4 } $$
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.