在等腰梯形ABCD中，已知 A B / / D C , A…——2015 高考数学第 14 题答案解析

2015_天津卷

2015 天津 第 14 题 解答题 区分题
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14．在等腰梯形ABCD中，已知 $A B / / D C , A B = 2 , B C = 1 , \angle A B C = 6 0 ^ { \circ }$ 。动点E和F 分别在线段BC和DC 上，且 $\overrightarrow { B E } = \lambda \overrightarrow { B C } , \overrightarrow { D F } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C }$ ，则 ${ \overrightarrow { A E } } { \cdot } { \overrightarrow { A F } }$ 的最小值为

参考答案

$\frac { 2 9 } { 1 8 }$ 解析过程： 因为 $\overrightarrow { D F } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } , \overrightarrow { D C } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B }$ $$ \overrightarrow { C F } = \overrightarrow { D F } - \overrightarrow { D C } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } - \overrightarrow { D C } = \frac { 1 - 9 \lambda } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } = \frac { 1 - 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } ~ , $$ $$ \overrightarrow { A E } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B E } = \overrightarrow { A B } + \lambda \overrightarrow { B C } , $$ $$ \begin{array} { l } { { \displaystyle \overrightarrow { A F } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C F } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \frac { 1 - 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } , } } \\ { { \displaystyle \overrightarrow { A E } \cdot \overrightarrow { A F } = \left( \overrightarrow { A B } + \lambda \overrightarrow { B C } \right) } { \cdot ( \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } ) } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \lambda \overrightarrow { B C } ^ { 2 } + ( 1 + \lambda \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } ) \overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { B C } } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \times 4 + \lambda + \frac { 1 9 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \times 2 \times \mathrm { { s } l } \times \cos { 1 2 0 } ^ { \circ } } } \\ { { \displaystyle = \frac { 2 } { 9 \lambda ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \lambda + \frac { 1 7 } { 1 8 } \geq 2 \sqrt { \frac { 2 } { 9 \lambda } \cdot \frac { 1 } { 2 } } \lambda + \frac { 1 7 } { 1 8 } = \frac { 2 9 } { 1 8 } } } \end{array} $$

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【答案】$\frac { 2 9 } { 1 8 }$ 解析过程： 因为 $\overrightarrow { D F } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } , \overrightarrow { D C } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B }$ $$ \overrightarrow { C F } = \overrightarrow { D F } - \overrightarrow { D C } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } - \overrightarrow { D C } = \frac { 1 - 9 \lambda } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } = \frac { 1 - 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } ~ , $$ $$ \overrightarrow { A E } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B E } = \overrightarrow { A B } + \lambda \overrightarrow { B C } , $$ $$ \begin{array} { l } { { \displaystyle \overrightarrow { A F } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C F } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \frac { 1 - 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } , } } \\ { { \displaystyle \overrightarrow { A E } \cdot \overrightarrow { A F } = \left( \overrightarrow { A B } + \lambda \overrightarrow { B C } \right) } { \cdot ( \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } ) } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \lambda \overrightarrow { B C } ^ { 2 } + ( 1 + \lambda \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } ) \overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { B C } } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \times 4 + \lambda + \frac { 1 9 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \times 2 \times \mathrm { { s } l } \times \cos { 1 2 0 } ^ { \circ } } } \\ { { \displaystyle = \frac { 2 } { 9 \lambda ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \lambda + \frac { 1 7 } { 1 8 } \geq 2 \sqrt { \frac { 2 } { 9 \lambda } \cdot \frac { 1 } { 2 } } \lambda + \frac { 1 7 } { 1 8 } = \frac { 2 9 } { 1 8 } } } \end{array} $$

【解析】答案： $\frac { 2 9 } { 1 8 }$

解析过程：

因为 $\overrightarrow { D F } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } , \overrightarrow { D C } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B }$

$$ \overrightarrow { C F } = \overrightarrow { D F } - \overrightarrow { D C } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } - \overrightarrow { D C } = \frac { 1 - 9 \lambda } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } = \frac { 1 - 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } ~ , $$

$$ \overrightarrow { A E } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B E } = \overrightarrow { A B } + \lambda \overrightarrow { B C } , $$

$$ \begin{array} { l } { { \displaystyle \overrightarrow { A F } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C F } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \frac { 1 - 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } , } } \\ { { \displaystyle \overrightarrow { A E } \cdot \overrightarrow { A F } = \left( \overrightarrow { A B } + \lambda \overrightarrow { B C } \right) } { \cdot ( \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } ) } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \lambda \overrightarrow { B C } ^ { 2 } + ( 1 + \lambda \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } ) \overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { B C } } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \times 4 + \lambda + \frac { 1 9 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \times 2 \times \mathrm { { s } l } \times \cos { 1 2 0 } ^ { \circ } } } \\ { { \displaystyle = \frac { 2 } { 9 \lambda ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \lambda + \frac { 1 7 } { 1 8 } \geq 2 \sqrt { \frac { 2 } { 9 \lambda } \cdot \frac { 1 } { 2 } } \lambda + \frac { 1 7 } { 1 8 } = \frac { 2 9 } { 1 8 } } } \end{array} $$

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