（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线…——2014 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段

【专题】17：选作题；5Q：立体几何

【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是 $\widehat { B C }$ 的中点，从而BE=EC；

（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得 $\mathsf { A D } \bullet \mathsf { D E } = 2 \mathsf { P B } ^ { 2 }$

【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则 $\angle O A E = \angle O E A , \angle O A P = 9 0 ^ { \circ }$

$\because P C = 2 P A$ ，D为PC的中点，

∴PA=PD，

$\therefore \angle P A D = \angle P D A$

∵∠PDA=∠CDE，

$\therefore \angle O E A + \angle C D E = \angle O A E + \angle P A D = 9 0 ^ { \circ }$

∴OE⊥BC，

∴E是 $\widehat { B C }$ 的中点，

∴BE=EC；

（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，

∴PA²=PB•PC，

∵PC=2PA，

∴PA=2PB，

∴PD=2PB，

∴PB=BD，

∴BD•DC=PB•2PB，

∵AD•DE=BD•DC，

∴AD•DE=2PB²

【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题