（本小题满分 12 分） 函数 f(x)=6 cos ^…——2012 高考数学第 18 题答案解析

解：①由已知可得，$f(x)=3 \cos \omega x+\sqrt{3} \sin \omega x=2 \sqrt{3} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ ．
又正三角形 $A B C$ 的高为 $2 \sqrt{3}$ ，从而 $B C=4$ ．
所以函数 $f(x)$ 的周期 $T=4 \times 2=8$ ，即 $\frac{2 \pi}{\omega}=8, \omega=\frac{\pi}{4}$ ．
函数 $f(x)$ 的值域为 $[-2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$ ．
> ②因为 $f\left(x_{0}\right)=\frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，由①有
$f\left(x_{0}\right)=2 \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi x_{0}}{4}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{8 \sqrt{3}}{5}$,
即 $\sin \left(\frac{\pi x_{0}}{4}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4}{5}$ ，
由 $x_{0} \in\left(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ，知 $\frac{\pi x_{0}}{4}+\frac{\pi}{3} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
所以 $\cos \left(\frac{\pi x_{0}}{4}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\frac{3}{5}$ ．
故 $f\left(x_{0}+1\right)=2 \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi x_{0}}{4}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)$

$$ \begin{aligned} & =2 \sqrt{3} \sin \left[\left(\frac{\pi x_{0}}{4}+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{4}\right] \\ & =2 \sqrt{3}\left[\sin \left(\frac{\pi x_{0}}{4}+\frac{\pi}{3}\right) \cos \frac{\pi}{4}+\cos \left(\frac{\pi x_{0}}{4}+\frac{\pi}{3}\right) \sin \frac{\pi}{4}\right] \\ & =2 \sqrt{3}\left(\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ & =\frac{7 \sqrt{6}}{5} \end{aligned} $$

考点定位：本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角个的正余弦公式、二倍角公式等基础知识、考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。