( x ^ 2 + 2 x ) ^ 6 的展开式中常数项是…——2020 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 240

【解析】

【分析】

写出 $\left( x ^ { 2 } + { \frac { 2 } { x } } \right) ^ { 6 }$ 二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】 $\because \left( x ^ { 2 } + { \frac { 2 } { x } } \right) ^ { 6 }$

其二项式展开通项：

$$ T _ { _ { r + 1 } } = C _ { 6 } ^ { r } \cdot \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 6 - r } \cdot \left( \frac { 2 } { x } \right) ^ { r } $$

$$ = C _ { 6 } ^ { r } \cdot x ^ { 1 2 - 2 r } ( 2 ) ^ { r } \cdot x ^ { - r } $$

$$ = C _ { 6 } ^ { r } ( 2 ) ^ { r } \cdot x ^ { 1 2 - 3 r } $$

当 $1 2 - 3 r = 0$ ，解得 $r = 4$

$\therefore ( x ^ { 2 } + { \frac { 2 } { x } } ) ^ { 6 }$ 的展开式中常数项是： $C _ { 6 } ^ { 4 } \cdot 2 ^ { 4 } = C _ { 6 } ^ { 2 } \cdot 1 6 = 1 5 { \times } 1 6 = 2 4 0$

故答案为： 240 .

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握$\left( a + b \right) ^ { n }$ 的展开通项公式 $T _ { r + 1 } = \mathbf { C } _ { n } ^ { r } a ^ { n - r } b ^ { r }$ ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.