20、（本题满分 15 分）
如图，在四棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{BCDE}$ 中，平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D E ; \angle C D E=\angle B E D=90^{\circ}$ ， $A B=C D=2, D E=B E=1, A C=\sqrt{2}$ 。
（1）证明：$A C \perp$ 平面 $B C D E$ ；
（2）求直线 $A E$ 与平面 ABC 所成的角的正切值。
（I）证明：过 $B$ 作 $B F \perp C D$ 于 $F$ ，则 $C F=B F=1$ ， $$ \begin{aligned} & \therefore B C=\sqrt{2}, \text { 又 } A C=\sqrt{2}, A B=2, \\ & \therefore A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}, \end{aligned} $$ $\therefore A C \perp B C$ ，而平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D E$ ， $\therefore A C \perp$ 平面 $B C D E$ ； （II）延长 $C B, D E$ 交于 $M$ ，过 $E$ 作 $E N \perp C M$ 于 $N$ ． 而 $A C \perp E N, \therefore E N \perp$ 平面 $A B C$ ， $\therefore \angle E A N$ 为直线 $A E$ 与平面 $A B C$ 所成角，记为 $\alpha$ ， 则在直角三角形 $A E N$ 中， $$ \tan \alpha=\frac{E N}{A N}=\frac{E N}{\sqrt{A C^{2}+C N^{2}}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\frac{9}{2}}}=\frac{\sqrt{13}}{13} $$