（本小题满分 12 分） 设 a_ n 的公比不为 1 的…——2012 高考数学第 17 题答案解析

【解析】（1）$\because a_{5}, a_{3}, a_{4}$ 成等差数列，$\therefore 2 a_{3}=a_{5}+a_{4}, \therefore 2 a_{1} q^{2}=a_{1} q^{4}+a_{1} q^{3}$ ，
$a_{1} \neq 0, q \neq 0, \therefore q^{2}+q-2=0, \therefore q=-2,1$（舍去）$\therefore q=-2$ ．
> （2）证法一．（等差中项法）

$$ \begin{aligned} & \because k \in N_{+} \therefore S_{k+2}+S_{k+1}-2 S_{k}=\left(S_{k+2}-S_{k}\right)+\left(S_{k+1}-S_{k}\right) \\ & a_{k+1}+a_{k+2}+a_{k+1}=2 a_{k+1}+a_{k+1}(-2)=0 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & \because 2 S_{k}=\frac{2 a_{1}\left(1-q^{k}\right)}{1-q} \\ & S_{k+2}+S_{k+1}=\frac{a_{1}\left(1-q^{k+2}\right)}{1-q}+\frac{a_{1}\left(1-q^{k+1}\right)}{1-q}=\frac{a_{1}\left(2-q^{k+2}-q^{k+1}\right)}{1-q} \end{aligned} $$

证法二．（公式法）$\therefore 2 S_{k}-\left(S_{k+2}+S_{k+1}\right)=\frac{2 a_{1}\left(1-q^{k}\right)}{1-q}-\frac{a_{1}\left(2-q^{k+2}-q^{k+1}\right)}{1-q}$

$$ =\frac{a_{1} q^{k}}{1-q}\left(q^{2}+q-2\right)=0(\because q=-2), \therefore S_{k+2}, S_{k}, S_{k+1} \text { 成等差数列。 } $$

【考点定位】本题主要考察等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质、关键要把握两种基本数列的相关知识。