## 20．（本小题满分13分） 某企业在第1年初购买一台…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
(2011•湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%

(Ⅰ)求第n年初M的价值 $a _ { n }$ 的表达式；

(Ⅱ)设 $A n = { \frac { a 1 + a 2 + \ldots + a n } { n } }$ ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新

考点：分段函数的应用；数列与函数的综合。

专题：综合题。

分析：(I)通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值 $a _ { n }$ 的表达式；

(II)利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出 $A _ { n } ;$ ，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新

解答：解：(I)当n＜6时，数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是首项为120，公差为﹣10的等差数列

$$ a _ { n } = 1 2 0 \textrm { -- } 1 0 ( n \textrm { -- } 1 ) = 1 3 0 \textrm { - } 1 0 n $$

当 $n { \geqslant } 6 \mathbb { H } { \mathrm { { J } } }$ ，数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是以 $a _ { 6 }$ 为首项，公比为 $\frac 3 4$ 的等比数列，又 ${ a } _ { 6 } \mathrm { = } 7 0$

所以 $a _ { n } = 7 0 \times ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { n - 6 }$

因此，第n年初，M的价值 $a _ { n }$ 的表达式为 $a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 3 0 { - } 1 0 n ( n \leq 6 ) } } \\ { { } } \\ { { 7 0 { \times } ( { \frac { 3 } { 4 } } ) ^ { n { - } 6 } ( n \geq 7 ) } } \end{array} \right.$

(II)设 $S _ { n }$ 表示数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得

当1≤n≤6时， $S _ { n } \mathrm { = } 1 2 0 n - 5 n ( n - 1 ) , ~ { \cal A } _ { n } \mathrm { = } 1 2 0 - 5 ( n - 1 ) \mathrm { = } 1 2 5 \mathrm { ~ - ~ } 5 n$

当n≥7时，由于 $S _ { 6 } { = } 5 7 0$ 故

$$ S _ { n } - S _ { 6 } + ( a _ { 7 } + a _ { 8 } + \cdots + a _ { n } ) - 5 7 0 + 7 0 \times 4 \times [ 1 - ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { n - 6 } ] = 7 8 0 - 2 1 0 \times ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { n - 6 } \ : A _ { n } = \frac { 7 8 0 - 2 1 0 \times ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { n - 6 } } { n } $$

因为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是递减数列，

所以 $\left\{ A _ { n } \right\}$ 是递减数列，

$$ A _ { 8 } = \frac { 7 8 0 - 2 1 0 \times ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 2 } } { 6 4 } = 8 2 \frac { 4 7 } { 6 4 } > 8 0 $$

$$ A _ { 9 } = \frac { 7 8 0 - 2 1 0 \times ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 3 } } { 9 } = 7 6 \frac { 7 9 } { 9 6 } < 8 0 $$

所以须在第9年初对M更新

点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究