2012_daganji_old
5．（5分）已知等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ， $\mathtt { a } _ { 5 } = 5$ ${ \sf S } _ { 5 } { = } 1 5$ ，则数列 $\{ \frac { 1 } { \mathsf { a } _ { \mathrm { n } } \mathsf { a } _ { \mathrm { r } + 1 } } \}$ 的前100项和为（ ） A $\frac { 1 0 0 } { 1 0 1 }$ B $\frac { 9 9 } { 1 0 1 }$ C $\frac { 9 9 } { 1 0 0 }$ D $\frac { 1 0 1 } { 1 0 0 }$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和
【专题】11：计算题
【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求 $\mathsf { a } _ { 1 }$ ，d，进而可求 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$
，代入可得 $\frac { 1 } { a _ { n } a _ { n + 1 } } = \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } = \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$ ，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得， $\left\{ \begin{array} { l l } { { \tt a } _ { 1 } { + } 4 \mathrm { { d } } { = } 5 } \\ { 5 { \tt a } _ { 1 } { + } 1 0 \mathrm { { d } } { = } 1 5 } \end{array} \right.$ 解方程可得， ${ \mathsf { d } } { = } 1 , ~ { \mathsf { a } } _ { 1 } { = } 1$ 由等差数列的通项公式可得， $a _ { n } = a _ { 1 } + ( n - 1 ) d = 1 + ( n - 1 ) \times 1 = n$ $\therefore \frac { 1 } { a _ { n } a _ { r + 1 } } = \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } = \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { n + 1 }$ $\mathtt { S } _ { 1 0 0 } = 1 \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { 1 0 0 } - \frac { 1 } { 1 0 1 }$ $= 1 - \frac { 1 } { 1 0 1 } = \frac { 1 0 0 } { 1 0 1 }$ 故选：A
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题