已知函数 f ( x ) = 2 s i n ω x c…——2026 高考数学第 16 题答案解析

(I) 利用两角和的正弦公式化简函数解析式：
$$f(x) = 2(\sin \omega x \cos \varphi + \cos \omega x \sin \varphi) = 2\sin(\omega x + \varphi)$$
由最小正周期 $T=\pi$ 及 $\omega > 0$，得：
$$\frac{2\pi}{\omega} = \pi \implies \omega = 2$$
此时 $f(x) = 2\sin(2x + \varphi)$。
代入 $f(\frac{\pi}{4}) = 1$：
$$2\sin\left(2 \times \frac{\pi}{4} + \varphi\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right) = 2\cos \varphi = 1$$
解得 $\cos \varphi = \frac{1}{2}$。
因为 $0 < \varphi < \frac{\pi}{2}$，所以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$。
综上，$\omega = 2, \varphi = \frac{\pi}{3}$。

(II) 由 (I) 知 $f(x) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$。
正弦函数 $y=\sin t$ 的单调递减区间为 $[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi], k \in \mathbb{Z}$。
令 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant 2x + \frac{\pi}{3} \leqslant \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$，
各边减去 $\frac{\pi}{3}$ 得：
$$\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$
各边除以 2 得：
$$\frac{\pi}{12} + k\pi \leqslant x \leqslant \frac{7\pi}{12} + k\pi$$
故 $f(x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{7\pi}{12} + k\pi], k \in \mathbb{Z}$。