（10分）如图，D，E分别为 A B C 的边AB，AC上…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段

【专题】11：计算题；14：证明题

【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程 $\mathbf { x } ^ { 2 } - 1 4 \mathbf { x } + \mathbf { m } \mathbf { n } = 0$ 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论

（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小

【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

$$ \scriptstyle \mathsf { A D } \times \mathsf { A B } = \mathsf { m n } = \mathsf { A E } \times \mathsf { A C } , $$

即 $\frac { A D } { A C } = \frac { A E } { A B }$

又 $\angle D A E = \angle C A B$ ，从而 $\triangle \mathsf { A D E } \sim \triangle \mathsf { A C B }$

因此 $\angle A D E = \angle A C B$

∴C，B，D，E四点共圆

（Ⅱ）m=4，n=6时，方程 $\mathbf { x } ^ { 2 } - 1 4 \mathbf { x } + \mathbf { m } \mathbf { n } = 0$ 的两根为 $\lvert \mathsf { x } _ { 1 } = 2$ $\tt x _ { 2 } = \tt 1 2$

故AD=2，AB=12

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH

∵C，B，D，E四点共圆，

∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH

由于 $\angle A = 9 0 ^ { \circ }$ ，故GH∥AB，HF∥AC $H F = A G = 5$ $D F = \frac { 1 } { 2 } ( 1 2 - 2 ) = 5$

故C，B，D，E四点所在圆的半径为 $\lceil 5 \sqrt { 2 }$

【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题