（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前…——2012 高考数学第 20 题答案解析

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

【专题】5I：概率与统计

【分析】（Ⅰ）记 ${ \mathsf { A } } _ { \mathrm { i } }$ 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2， $\mathsf { B } _ { \mathrm { i } }$ 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先 $\mathsf { B } = \mathsf { A } _ { \bar { \mathsf { I } } } \bullet \mathsf { A } + \mathsf { A } _ { 1 } \bullet \overline { { \mathsf { A } } } ,$ ，由此能求出开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率

（Ⅱ） $\begin{array} { r } { \mathrm { P } ( \mathrm { B } _ { \cap } ) = 0 . \mathrm { ~ 6 } ^ { 2 } = 0 . 3 6 ^ { , \circ } , \mathrm { ~ \mathsf { P } ~ } ( \mathrm { B } _ { 1 } ) = 2 \times 0 . 4 \times 0 . 6 = 0 . 4 8 , \mathrm { ~ \mathsf { P } } ( \mathrm { B } _ { \geqslant } ) = 0 . \mathrm { ~ 4 } ^ { 2 } = 0 . 1 6 ^ { , \circ } , } \end{array}$

$\mathtt { P } ( \mathtt { A } _ { 2 } ) = 0 . \mathtt { f } ^ { 2 } = 0 . 3 6$ $\begin{array} { r } { \mathbb { H } \mathbb { C } = \mathbb { A } _ { 1 } \bullet \mathbb { B } _ { 2 } + \mathbb { A } _ { 2 } \bullet \mathbb { B } _ { 1 } + \mathbb { A } _ { 2 } \bullet \mathbb { B } _ { 2 } } \end{array}$ ，能求出开始第5次发球时，甲领先得分的概率

【解答】解：（Ⅰ）记 $\mathsf { A } _ { \mathrm { i } }$ 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，

$\mathsf { B } _ { \mathrm { i } }$ 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，

A表示事件：第3次发球，甲得1分，

B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，

C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先

$$ \therefore B = A _ { 0 } \cdot A + A _ { 1 } \cdot \overline { { A } } , $$

P $( \mathsf { A } ) \mathsf { \Omega } = 0 . 4 , \mathsf { P } ( \mathsf { A } _ { 0 } ) \mathsf { \Omega } = 0 . 4 ^ { 2 } = 0 . 1 6 ,$

$$ { \begin{array} { l } { { \mathsf { P } } } \end{array} } ( { \mathsf { A } } _ { 1 } ) { \begin{array} { l } { = 2 \times 0 . 6 \times 0 . 4 = 0 . 4 8 , } \end{array} } $$

$$ P ( \mathbf { B } ) = P ( \mathbb { A } _ { \mathbb { I } } \mathbf { \Lambda } _ { \mathbb { A } } ^ { \bullet } + \mathbb { A } _ { 1 } \mathbf { \Lambda } _ { 1 } ^ { \bullet } ) $$

$$ \begin{array} { r l } & { \mathbf { \Lambda } = \mathbf { P } \mathbf { \Lambda } ( \mathsf { A } _ { 0 } \bullet \mathsf { A } ) \mathbf { \Lambda } + \mathbf { P } \mathbf { \Lambda } ( \mathsf { \Lambda } _ { \mathsf { A } _ { 1 } } \bullet \mathsf { A } ) } \\ & { \mathbf { \Lambda } } \\ & { = \mathbf { P } \mathbf { \Phi } ( \mathsf { A } _ { 0 } ) \mathbf { P } \left( \mathsf { A } \right) + \mathbf { P } \left( \mathsf { A } _ { 1 } \right) \mathbf { P } \left( \overline { { \mathsf { A } } } \right) } \\ & { \mathbf { \Lambda } = \mathbf { \Phi } _ { 1 } \mathbf { 1 } 6 \times \mathbf { 0 } . 4 + \mathbf { 0 } . 4 8 \times \mathbf { \Phi } ( \mathbf { \Lambda } _ { 1 } - \mathbf { \Phi } _ { 0 . 4 } ) } \\ & { \mathbf { \Phi } } \\ & { = \mathbf { 0 } . 3 5 2 . } \end{array} $$

答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是0.352
（Ⅱ） $\scriptstyle \mathtt { P } ( \mathtt { B } _ { 0 } ) = 0 . \mathtt { 6 } ^ { 2 } = 0 . 3 6 ,$
P $( \mathsf { B } _ { 1 } ) \ = 2 { \times } 0 . 4 { \times } 0 . 6 { = } 0 . 4 8 ,$
P(B2)=0.4²=0.16,
P(A2)=0.6²=0.36,
∵C=A₁•B₂+A₂•B₁+A₂•B₂，
$\therefore { \mathsf { P } } ( { \mathsf { C } } ) = { \mathsf { P } } ( { \mathsf { A } } _ { 1 } \bullet { \mathsf { B } } _ { 2 } + { \mathsf { A } } _ { 2 } { \mathsf { B } } _ { 1 } + { \mathsf { A } } _ { 2 } \bullet { \mathsf { B } } _ { 2 } )$
$= p ( A _ { 1 } \bullet B _ { 2 } ) + p ( A _ { 2 } \bullet B _ { 1 } ) + p ( A _ { 2 } \bullet B _ { 2 } )$
=P（A₁）P（B）+P（A₂）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）
=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16
=0.3072

答：开始第5次发球时，甲领先得分的概率是0.3072

【点评】本题考查事件的概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意n次独立重复试验的性质和公式的灵活运用