已知函数 f ( x ) = 1 2 - x ^ 2 （Ⅰ…——2020 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（Ⅰ） 2 13 0x y+ - = ，（Ⅱ）32.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；

（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

【详解】（Ⅰ）因为 $f ( x ) = 1 2 - x ^ { 2 }$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) = - 2 x$

设切点为 $\left( x _ { 0 } , 1 2 - x _ { 0 } \right)$ ，则 $- 2 x _ { 0 } = - 2$ ，即 $x _ { 0 } = 1$ ，所以切点为(1,11)，

由点斜式可得切线方程 ：为 $y - 1 1 = - 2 { \bigl ( } x - 1 { \bigr ) }$ ，即 $2 x + y - 1 3 = 0$

（Ⅱ）显然 $t \neq 0$

因为 y = f (x) 在点 $\left( t , 1 2 - t ^ { 2 } \right)$ 处的切线方程为： $y - \left( 1 2 - t ^ { 2 } \right) = - 2 t { \bigl ( } x - t { \bigr ) }$

令 $x = 0$ ，得 $y = t ^ { 2 } + 1 2$ ，令 $y = 0$ ，得 $x = \frac { t ^ { 2 } + 1 2 } { 2 t }$

所以 $S \left( t \right) = \frac { 1 } { 2 } \times \left( t ^ { 2 } + 1 2 \right) \cdot \frac { t ^ { 2 } + 1 2 } { 2 \mid t \mid }$

不妨设 $t > 0 \left( t < 0 \right.$ 时，结果一样)，

则 $S \big ( t \big ) = \frac { t ^ { 4 } + 2 4 t ^ { 2 } + 1 4 4 } { 4 t } = \frac { 1 } { 4 } ( t ^ { 3 } + 2 4 t + \frac { 1 4 4 } { t } )$

所以 $S ^ { \prime } \bigl ( t \bigr ) = \frac { 1 } { 4 } ( 3 t ^ { 2 } + 2 4 - \frac { 1 4 4 } { t ^ { 2 } } ) = \frac { 3 ( t ^ { 4 } + 8 t ^ { 2 } - 4 8 ) } { 4 t ^ { 2 } }$

$$ = \frac { 3 ( t ^ { 2 } - 4 ) ( t ^ { 2 } + 1 2 ) } { 4 t ^ { 2 } } = \frac { 3 ( t - 2 ) ( t + 2 ) ( t ^ { 2 } + 1 2 ) } { 4 t ^ { 2 } } \ : , $$

由 $S ^ { \prime } ( t ) > 0$ ，得 $t > 2$ ，由 $S ^ { \prime } ( t ) < 0$ ，得 $0 < t < 2$

所以S(t)在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增，

所以t =2时，S(t)取得极小值，

也是最小值为 $S ( 2 ) = \frac { 1 6 \times 1 6 } { 8 } = 3 2$

【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.