（20）（本小题满分 12 分） 如图，动圆 C_ 1 :…——2012 高考数学第 20 题答案解析

解析：①设 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则矩形 ABCD 的面积
$S=4\left|x_{0} \| y_{0}\right|$.
由 $\frac{x_{0}{ }^{2}}{9}+y_{0}{ }^{2}=1$ 得 $y_{0}{ }^{2}=1-\frac{x_{0}{ }^{2}}{9}$ ，从而
$x_{0}{ }^{2} y_{0}{ }^{2}=x_{0}{ }^{2}\left(1-\frac{x_{0}{ }^{2}}{9}\right)=-\frac{1}{9}\left(x_{0}{ }^{2}-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}$
当 $x_{0}{ }^{2}=\frac{9}{2}, y_{0}{ }^{2}=\frac{1}{2}$ 时，$S_{\max }=6$ ，从而 $t=\sqrt{5}$ 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 6 ．
> ②证明：由 $A\left(x_{0}, y_{0}\right), B\left(x_{0},-y_{0}\right), A_{1}(-3,0), A_{2}(3,0)$ 知

直线 $A A_{1}$ 的方程为 $y=\frac{y_{0}}{x_{0}+3}(x+3)$

直线 $A_{2} B$ 的方程为 $y=\frac{-y_{0}}{x_{0}-3}(x-3)$

由①②得 $y^{2}=\frac{-y_{0}}{x_{0}^{2}-9}\left(x^{2}-9\right)$

又点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在椭圆 C 上，故 $y_{0}{ }^{2}=1-\frac{x_{0}{ }^{2}}{9}$

将（4）代入③得 $\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1(x<-3, y<0)$
因此点 M 的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1(x<-3, y<0)$ ．
考点定位：本大题主要考查椭圆、圆、直线的标准方程的求法以及直线与椭圆、圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等．