2012_daganji_old
8．（5分）已知 $| \mathsf { F } _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } \mathsf { \Lambda } \mathsf { F } _ { 2 }$ 为双曲线C： $\ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 2$ 的左、右焦点，点P在C上， $\vert P F _ { 1 } \vert = 2$ $\left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right|$ ，则 $\mathsf { c o s } \angle \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { P } \mathsf { F } _ { 2 } \mathbf { = }$ （ ）A $\frac { 1 } { 4 }$ B $\frac { 3 } { 5 }$ C $\frac { 3 } { 4 }$ D $\frac { 4 } { 5 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】11：计算题
【分析】根据双曲线的定义，结合 $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| = 2 \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right|$ ，利用余弦定理，即可求 $\cos \angle F$ $\phantom { } _ { 1 } \mathsf { P F } _ { 2 }$ 的值
【解答】解：将双曲线方程 $\cdot x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 2$ 化为标准方程 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 } = 1$ ，则 $\scriptstyle \mathsf { a } = \sqrt { 2 } , \mathsf { b } = \sqrt { 2 }$ $\mathtt { C } = 2$
设 $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| { = } 2 \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| { = } 2 \mathsf { m }$ ，则根据双曲线的定义， $\left| ~ { \sf P F } _ { 1 } \right| ~ - ~ \left| ~ { \sf P F } _ { 2 } \right| { = } 2 \mathsf { a }$ 可得 $m = 2 \sqrt { 2 }$
$$ \therefore \mid \mathsf { P F } _ { 1 } \mid = 4 \sqrt { 2 } , \quad \mid \mathsf { P F } _ { 2 } \mid = 2 \sqrt { 2 } , $$
$$ \because \mid \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \mid = 2 \mathsf { c } = 4 $$
$$ \therefore \cos \angle \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { P } \mathsf { F } _ { 2 } = \frac { \left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| ^ { 2 } - \left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \right| ^ { 2 } } { 2 \left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| } \mathrm { = } \frac { 3 2 \mathrm { + } 8 \mathrm { - } 1 6 } { 2 \times 4 \sqrt { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } } \frac { 2 4 } { 3 2 } \frac { 3 } { 4 } . $$
故选：C
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题