2020_新课标I卷
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
(1) $\frac { 1 } { 1 6 }$; (2) $\frac 3 4$; (3) $\frac { 7 } { 1 6 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $\frac { 1 } { 1 6 }$ ；（2） $\frac 3 4$ ；（3） $\frac { 7 } { 1 6 }$ .
【解析】
【分析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概
率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件M :甲连胜四场，则 $P \left( M \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 } = \frac { 1 } { 1 6 }$
（2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
$$ P ^ { \prime } = P \big ( A B A B \big ) + P \big ( A C A C \big ) + P \big ( B C B C \big ) + P \big ( B A B A \big ) = 4 \times \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 } = \frac { 1 } { 4 } , $$
所以，需要进行第五场比赛的概率为 $P = 1 - P ^ { \prime } = \frac { 3 } { 4 }$
（3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
记事件M :甲赢，记事件N:丙赢，
则甲赢的基本事件包括： BCBC 、 ABCBC、 ACBCB 、
BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，
所以，甲赢的概率为 $P \big ( M \big ) = \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 4 } + 7 \times \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 5 } = { \frac { 9 } { 3 2 } }$
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 $P { \big ( } N { \big ) } = 1 - 2 \times { \frac { 9 } { 3 2 } } = { \frac { 7 } { 1 6 } }$
【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.