2012_天津卷 (2012·理)
（15）（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+2 \cos ^{2} x-1, x \in R$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．
（15）（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+2 \cos ^{2} x-1, x \in R$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
解析：①$f(x)=\sin 2 x \bullet \cos \frac{\pi}{3}+\cos 2 x \bullet \sin \frac{\pi}{3}+\sin 2 x \bullet \cos \frac{\pi}{3}-\cos 2 x \sin \frac{\pi}{3}+\cos 2 x =\sin 2 x+\cos 2 x$
$=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$
所以，$f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$
> ②因为 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right]$ 上是增函数，在区间 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上是减函数，
又 $f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1, \quad f\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}, \quad f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$ ，
故函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$ ，最小值为 -1 ．
【考点定位】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查基本，运算能力，本题考查了两角和差的正弦公式、二倍角公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查基本运算能力和划归能力。该试题关键在于将已知的函数表达式化为 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可。