2012 天津卷 · 理 数学

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为－ 25 时，输出 x 的值为
（A）-1
（B） 1
（C） 3
（D） 9

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为－ 25 时，输出 x 的值为

函数 $f(x)=2^{x}+x^{3}-2$ 在区间 $(0,1)$ 内的零点个数是
（A） 0
（B） 1
（C） 2
（D） 3

（4）函数 $f(x)=2^{x}+x^{3}-2$ 在区间 $(0,1)$ 内的零点个数是

在 $\left(2 x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数为
（A） 10
（B）-10
（C） 40
（D）-40

（5）在 $\left(2 x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数为

某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所．
现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 $\_\_\_\_$所学校，中学中抽取 $\_\_\_\_$所学校．


则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$ ．

（9）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所．
现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校
对学生进行视力调查，应从小学中抽取 $\_\_\_\_$所

学校，中学中抽取 $\_\_\_\_$所学校。

一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$ ．

已知集合 $A=\{\mathrm{x} \in R| | x+2 \mid<3\}$ ，集合
$B=\{x \in R \mid(x-m)(x-2)<0\}$ ，且 $A \cap B=(-1, n)$ ，则 $\mathrm{m}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

（11）已知集合 $A=\{\mathrm{x} \in R| | x+2 \mid<3\}$ ，集合 $B=\{x \in R \mid(x-m)(x-2)<0\}$ ，且
$A \cap B=(-1, n)$ ，则 $\mathrm{m}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

已知抛物线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 p t^{2}, \\ y=2 p t\end{array}\right.$（ t 为参数），其中 $\mathrm{p}>0$ ，焦点为 F ，准线为 $l$ ．
过抛物线上一点 M 作 $l$ 的垂线，垂足为 E ．若 $|\mathrm{EF}|=|\mathrm{MF}|$ ，点 M 的横坐标是 3 ，则 $\mathrm{p}=$ $\_\_\_\_$ ．

（12）已知抛物线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 p t^{2} \\ y=2 p t\end{array}\right.$（ t 为参数），其中 $\mathrm{p}>0$ ，焦点为 F ，准线为 $l$ ．过抛物线上一点 M 作 $l$ 的垂线，垂足为 E ．若 $|\mathrm{EF}|=|\mathrm{MF}|$ ，点 M 的横坐标是 3 ，则 $\mathrm{p}=$ $\_\_\_\_$ ．

如图，已知 $A B$ 和 $A C$ 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ．
过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{AF}=3$ ， $\mathrm{FB}=1, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}$ ，则线段 CD 的长为 $\_\_\_\_$ ．

（13）如图，已知 $A B$ 和 $A C$ 是圆的两条弦，过点 B 作

圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ．过点 C 作 BD 的
平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{AF}=3$ ， $\mathrm{FB}=1, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}$ ，则线段 CD 的长为 $\_\_\_\_$ ．

已知函数 $y=\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}$ 的图象与函数 $y=k x-2$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

三．

（14）已知函数 $y=\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}$ 的图象与函数 $y=k x-2$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+2 \cos ^{2} x-1, x \in R$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．

（15）（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+2 \cos ^{2} x-1, x \in R$ ．

（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．

（本小题满分 13 分）
现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．
（I）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；
（II）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（III）用 X ， Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $\xi=|X-Y|$ ，求随机变量 $\xi$ 的分布列与数学期望 $E \xi$ ．

（16）（本小题满分 13 分）
现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏。
（I）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；
（II）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（III）用 X ， Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $\xi=|X-Y|$ ，求随机变量 $\xi$ 的分布列与数学期望 $E \xi$ ．

（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥P－
ABCD 中， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{AD}$ ， $\mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}, \angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}, \mathrm{PA}=\mathrm{AD}=2, \quad \mathrm{AC}=1$ ．
（I）证明 $\mathrm{PC} \perp \mathrm{AD}$ ；
（II）求二面角A－PC－D的正弦值；
（III）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面

直线 BE 与 CD 所成的角为 $30^{\circ}$ ，求 AE 的长．

（17）（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{AD}$ ，
$\mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}, \quad \angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}, \quad \mathrm{PA}=\mathrm{AD}=2, \quad \mathrm{AC}=1$ ．
（ I ）证明 $\mathrm{PC} \perp \mathrm{AD}$ ；
（II）求二面角A－PC－D的正弦值；
（III）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面
直线 BE 与 CD 所成的角为 $30^{\circ}$ ，求 AE 的长．

（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=x-\ln (x+a)$ 的最小值为 0 ，其中 $a>0$ ．
（I）求 $a$ 的值；
（II）若对任意的 $x \in[0,+\infty)$ ，有 $f(x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；
（III）证明 $\sum_{i=1}^{n} \frac{2}{2 i-1}-\ln (2 n+1)<2 \quad\left(n \in N^{*}\right)$ ．

试卷解析

【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有如下特点：1．2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007－ 2010年也相继考过，明细如下：零点存在定理（小题）——2009年、2010年 线线垂直—— 2007年 错位相减法——2007年，解析几何之斜率问题（大题）。

2．2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。而

（20）（本小题满分 14 分）

已知函数 $f(x)=x-\ln (x+a)$ 的最小值为 0 ，其中 $a>0$ ．
（I）求 $a$ 的值；
（II）若对任意的 $x \in[0,+\infty)$ ，有 $f(x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；
（III）证明 $\sum_{i=1}^{n} \frac{2}{2 i-1}-\ln (2 n+1)<2 \quad\left(n \in N^{*}\right)$ ．