2025_天津卷
14. $\triangle A B C$ 中，D为AB边中点， $\overrightarrow { C E } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { C D } , \overrightarrow { A B } = \vec { a } , \overrightarrow { A C } = \vec { b }$ ，则 $\overrightarrow { A E }$ =\_\_(用a,b表示)，若 $| { \overrightarrow { A E } } | =$ 5, $A E \bot C B$ ，则 ${ \overrightarrow { A E } } \cdot { \overrightarrow { C D } } =$
$\frac { 1 } { 6 } \vec { a } + \frac { 2 } { 3 } \vec { b } ; - 1 5$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
①. ${ \frac { 1 } { 6 } } { \vec { a } } + { \frac { 2 } { 3 } } { \vec { b } } ;$ ②. -15
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二如图，
因为 $\overrightarrow { C E } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { C D }$ ,所以 ${ \overrightarrow { A E } } - { \overrightarrow { A C } } = { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \overrightarrow { A D } } - { \overrightarrow { A C } } \right)$ ,所以 $\overrightarrow { A E } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A D } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A C }$
因为D为线段AB的中点，所以 $\overrightarrow { A E } = \frac { 1 } { 6 } \overrightarrow { A B } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A C } = \frac { 1 } { 6 } \overrightarrow { a } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { b } ;$
又因为 $\left| \overrightarrow { A E } \right| = 5 , A E \perp C B$ ,所以 $\overrightarrow { A E } ^ { 2 } = \Big ( \frac { 1 } { 6 } \vec { a } + \frac { 2 } { 3 } \vec { b } \Big ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 6 } \vec { a } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } \vec { a } \cdot \vec { b } + \frac { 4 } { 9 } \vec { b } ^ { 2 } = 2 5$
$\overrightarrow { A E } \cdot \overrightarrow { C B } = \left( \frac { 1 } { 6 } \vec { a } + \frac { 2 } { 3 } \vec { b } \right) \cdot \left( \vec { a } - \vec { b } \right) = \frac { 1 } { 6 } \vec { a } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \vec { a } \cdot \vec { b } - \frac { 2 } { 3 } \vec { b } ^ { 2 } = 0$ ,所以 $\overrightarrow { a } ^ { 2 } + 3 \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = 4 \overrightarrow { b } ^ { 2 }$
所以 $\overrightarrow { a } ^ { 2 } + 4 \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = 1 8 0$
所以 $\overrightarrow { A E } \cdot \overrightarrow { C D } = \Big ( \frac { 1 } { 6 } \vec { a } + \frac { 2 } { 3 } \vec { b } \Big ) \cdot \Big ( - \vec { b } + \frac { 1 } { 2 } \vec { a } \Big ) = \frac { 1 } { 1 2 } \vec { a } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \vec { a } \cdot \vec { b } - \frac { 2 } { 3 } \vec { b } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 2 } \left( \vec { a } ^ { 2 } + 2 \vec { a } \cdot \vec { b } - 8 \vec { b } ^ { 2 } \right)$
$= { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( { \vec { a } } ^ { 2 } + 2 { \vec { a } } \cdot { \vec { b } } - 2 { \vec { a } } ^ { 2 } - 6 { \vec { a } } \cdot { \vec { b } } ^ { 2 } \right) = { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( - { \vec { a } } ^ { 2 } - 4 { \vec { a } } \cdot { \vec { b } } ^ { 2 } \right) = - 1 5 .$
故答案为： $\frac { 1 } { 6 } \vec { a } + \frac { 2 } { 3 } \vec { b } ; - 1 5$