已知 M : x ^ 2 + y ^ 2 - 2 x -…——2020 高考数学第 11 题答案解析

【解析】
【分析】

由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A P B M, , , 共圆，且 $A B \perp M P$ ，根$\left. \ddagger \right| P M \rvert \cdot \left| A B \right| = 2 S _ { \triangle P A M } = 2 \left| P A \right|$ 可知，当直线 $M P \perp l$ 时， $| P M | \cdot | A B |$ 最小，求出以 $M P$ 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程

【详解】圆的方程可化为 $\left( x - 1 \right) ^ { 2 } + \left( y - 1 \right) ^ { 2 } = 4$ ，点M 到直线l的距离为 $d = { \frac { \left| 2 \times 1 + 1 + 2 \right| } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } } = { \sqrt { 5 } } > 2$ ，所以直线l与圆相离

依圆的知识可知，四点A P B M, , , 四点共圆，且 $A B \perp M P$ ，所以

$\left| P M \right| \cdot \left| A B \right| = 2 S _ { \triangle P A M } = 2 \times \frac { 1 } { 2 } \times \left| P A \right| \times \left| A M \right| = 2 \left| P A \right| , \because f i f i \left| P A \right| = \sqrt { \left| M P \right| ^ { 2 } - 4 }$

当直线 $M P \perp l$ 时， $\left| M P \right| _ { \operatorname* { m i n } } = \sqrt { 5 } \ , \ \left| P A \right| _ { \operatorname* { m i n } } = 1$ ，此时 $| P M | \cdot | A B |$ 最小．

$\therefore M P : y - 1 = { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } x - 1 { \big ) }$ 即 $y = \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 }$ ，由 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle y = \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 } } \\ { \displaystyle 2 x + y + 2 = 0 } \end{array} \right.$ 解得， $\left\{ { \begin{array} { l } { x = - 1 } \\ { y = 0 } \end{array} } \right.$

所以以MP为直径的圆的方程为 $( x - 1 ) ( x + 1 ) + y ( y - 1 ) = 0$ ，即 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - y - 1 = 0$ 两圆的方程相减可得： $2 x + y + 1 = 0$ ，即为直线AB 的方程

故选：D

【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题