设函数 f ( x ) = e ^ x x + a ．若…——2020 高考数学第 15 题答案解析

【答案】1

【解析】

【分析】

由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值

【详解】由函数的解析式可得： $f ^ { \prime } \left( x \right) = { \frac { e ^ { x } \left( x + a \right) - e ^ { x } } { \left( x + a \right) ^ { 2 } } } { = { \frac { e ^ { x } \left( x + a - 1 \right) } { \left( x + a \right) ^ { 2 } } } }$

则： $f ^ { \prime } \left( 1 \right) = { \frac { e ^ { 1 } \times \left( 1 + a - 1 \right) } { \left( 1 + a \right) ^ { 2 } } } { = } { \frac { a e } { \left( a + 1 \right) ^ { 2 } } }$ ，据此可得： ${ \frac { a e } { \left( a + 1 \right) ^ { 2 } } } = { \frac { e } { 4 } }$

整理可得： $a ^ { 2 } - 2 a + 1 = 0$ ，解得： $a = 1$

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.