（5分）直三棱柱 A B C - A _ 1 B _ 1…——2014 高考数学第 11 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角

【专题】5F：空间位置关系与距离

【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出 $\mathsf { B M }$ 与AN所成角的余弦值

【解答】解：直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \sharp$ $\angle B C A = 9 0 ^ { \circ }$ ，M，N分别是 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
MN $\scriptstyle { \frac { n } { 2 } } \operatorname { B } _ { 1 } \complement _ { 1 } = \mathrm { O B }$ ，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是 $\angle A N O$
$\because B C = C A = C C _ { 1 }$
设 ${ \mathsf { B C } } { = } { \mathsf { C A } } { = } { \mathsf { C C } } _ { 1 } { = } 2$ $\therefore C O = 1$ ${ \mathsf { A O } } { = } { \sqrt { 5 } } ,$ $\mathsf { A N } = \sqrt { 5 }$ $\scriptstyle \mathsf { M B } = \sqrt { \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { M } ^ { 2 } + \mathrm { B B } _ { 1 } ^ { 2 } } = \sqrt { ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } =$ ${ \sqrt { 6 } } ;$
在 $\triangle A N O \sharp$ ，由余弦定理可得： $\cos \angle A N O = \frac { A N ^ { 2 } + N O ^ { 2 } - A O ^ { 2 } } { 2 A N \cdot N O } = \frac { 6 } { 2 \times \sqrt { 5 } \times \sqrt { 6 } } = \frac { \sqrt { 3 0 } } { 1 0 }$
故选：C

【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用