2015_浙江卷 (2015·文)
18．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$ ， $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=4, \mathrm{~A}_{1}$ 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 是 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中点。
（ I ）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BC}$ ；
（II）求直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 和平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 所成的角的正弦值．
[^0]
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
解：（II）
建立坐标系如图
∵ 在三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~A}=4$
$\therefore \mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{B}(0, \sqrt{2}, 0), \mathrm{B}_{1}(-\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{14}), \mathrm{A}_{1}(0$ ， $0 \sqrt{14}$ ）
即 $\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}=(0, \sqrt{2}, \sqrt{14}), \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(0, \sqrt{2}, 0), \overrightarrow{\mathrm{BB}_{1}}=(-\sqrt{2}, 0, \sqrt{14})$ ，
设平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，
$\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{O B}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B B_{1}}=0\end{array}\right.$ 即得出 $\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ -\sqrt{2} x+\sqrt{14} z=0\end{array}\right.$
得出 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\sqrt{7}, 0,1),\left|\overrightarrow{\mathrm{BA}_{1}}\right|=4,|\overrightarrow{\mathrm{n}}|=2 \sqrt{2}$
$\because \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}_{1}}=\sqrt{14}$,
$\therefore \cos <\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{BA}_{1}}>=\frac{\sqrt{14}}{4 \times 2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{8}$ ，
可得出直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 和平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{8}$
点评：本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题。