（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【考点】BC：极差、方差与标准差；CB：古典概型及其概率计算公式

【专题】5I：概率与统计

【分析】设事件 $\mathsf { A } _ { \mathrm { i } }$ 为“甲是 A 组的第 i 个人”，事件 $\mathsf { B } _ { \mathrm { i } }$ 为 $\check { \mathbf { \Xi } } ^ { \prime \prime } \vec { Z } _ { \mathbf { \Xi } }$ 是 B 组的第 i 个人”，由题意可知 $P ( A _ { i } ) = P ( B _ { i } ) = \frac { 1 } { 7 }$ ，i=1，2，••，7

（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；

（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长 $^ { \prime \prime } { \mathsf { C } } = { \mathsf { A } } _ { 4 } { \mathsf { B } } _ { 1 } \cup { \mathsf { A } } _ { 5 } { \mathsf { B } } _ { 1 } \cup { \mathsf { A } } _ { 6 } { \mathsf { B } } _ { 1 } \cup { \mathsf { A } } _ { 7 } { \mathsf { B } } _ { 1 } \cup { \mathsf { A } } _ { 5 } { \mathsf { B } } _ { 2 }$ $\mid \mathsf { A } _ { 6 } \mathsf { B } _ { 2 } \cup \mathsf { A } _ { 7 } \mathsf { B } _ { 2 } \cup \mathsf { A } _ { 7 } \mathsf { B } _ { 3 } \cup \mathsf { A } _ { 6 } \mathsf { B } _ { 6 } \cup \mathsf { A } _ { 7 } \mathsf { B } _ { 6 }$ ，易得 $\mathsf { P } \left( \mathsf C \right) \mathsf { \Lambda } = 1 0 \mathsf { P } \left( \mathsf { A } _ { 4 } \mathsf { B } _ { 1 } \right)$ ），易得答案；

（Ⅲ）由方差的公式可得

【解答】解：设事件 $\mathsf { A } _ { \mathrm { i } }$ 为“甲是 A 组的第 i 个人”，事件 $\mathsf { B } _ { \mathrm { i } }$ 为“乙是 B 组的第 i 个人”，

由题意可知 $P ( A _ { i } ) = P ( B _ { i } ) = \frac { 1 } { 7 } , i = 1$ ，2，••，7

（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”

$\therefore$ 甲的康复时间不少于14天的概率 $P ( A _ { 5 } \cup A _ { 6 } \cup A _ { 7 } ) = P ( A _ { 5 } ) + \ P ( A _ { 6 } ) + \ P ( A _ { 7 } )$ $= \frac { 3 } { 7 } ;$

（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，

$$ C = A _ { 4 } B _ { 1 } \cup A _ { 5 } B _ { 1 } \cup A _ { 6 } B _ { 1 } \cup A _ { 7 } \mathsf { B } _ { 1 } \cup A _ { 5 } \mathsf { B } _ { 2 } \cup A _ { 6 } \mathsf { B } _ { 2 } \cup A _ { 7 } \mathsf { B } _ { 2 } \cup A _ { 7 } \mathsf { B } _ { 3 } \cup A _ { 6 } \mathsf { B } _ { 6 } \cup A _ { 7 } \mathsf { B } _ { 6 } , $$

$\therefore \mathsf { P } \left( \mathsf { C } \right) \ = \mathsf { P } \ \left( \mathsf { A } _ { 4 } \mathsf { B } _ { 1 } \right) \ + \mathsf { P } \ \left( \mathsf { A } _ { 5 } \mathsf { B } _ { 1 } \right) \ + \mathsf { P } \ \left( \mathsf { A } _ { 6 } \mathsf { B } _ { 1 } \right) \ + \mathsf { P } \ \left( \mathsf { A } _ { 7 } \mathsf { B } _ { 1 } \right) \ + \mathsf { P } \ \left( \mathsf { A } _ { 5 } \mathsf { B } _ { 2 } \right) \ + \mathsf { P } \ \left( \mathsf { A } _ { 6 } \mathsf { B } _ { 2 } \right) \ + \mathsf { P } \left( \mathsf { A } _ { 7 } \mathsf { B } _ { 1 } \right) \ ,$ （A₇B₂）+P（A₇B₃）+P（A₆B₆）+P（A₇B₆）
$= 1 0 \mathsf { P } ( \mathsf { A } _ { 4 } \mathsf { B } _ { 1 } ) = 1 0 \mathsf { P } ( \mathsf { A } _ { 4 } ) \mathsf { P } ( \mathsf { B } _ { 1 } ) = \frac { 1 0 } { 4 9 }$

（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等

【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题