2018_新课标I卷
10．（5分）在长方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中， $A B = B C = 2$ $\mathsf { A C } _ { 1 }$ 与平面 $\mathsf { B B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 所成的角为 ${ \mathfrak { 3 0 } } ^ { \circ }$ ，则该长方体的体积为（ ）A．8 B $6 \sqrt { 2 }$ C $8 \sqrt { 2 }$ D $8 \sqrt { 3 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】MI：直线与平面所成的角
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离
【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可
【解答】解：长方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中， $A B = B C = 2$
$\mathsf { A C } _ { 1 }$ 与平面 $\mathsf { B B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 所成的角为30°，
即 $\angle A C _ { 1 } B = 3 0 ^ { \circ }$ ，可得 $B C _ { 1 } = \frac { A B } { \tan 3 0 ^ { \circ } } = 2 \sqrt { 3 } .$
可得 $\mathsf { B B } _ { 1 } \mathsf { = } \sqrt { ( 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 } .$
所以该长方体的体积为： $2 \times 2 \times 2 { \sqrt { 2 } } { = } 8 { \sqrt { 2 } }$
故选：C
【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力