已知函数 f(x)=|x-2|, g(x)=|2 x+3|…——2021 高考数学第 23 题答案解析

（1）对于函数 $f(x)=|x-2|$，去绝对值可得：
$$f(x)=\begin{cases} 2-x, & x<2 \\ x-2, & x \geq 2 \end{cases}$$
其图像是以 $(2,0)$ 为顶点的折线。

对于函数 $g(x)=|2x+3|-|2x-1|$，零点分别为 $x=-\frac{3}{2}$ 和 $x=\frac{1}{2}$，分段讨论如下：
当 $x < -\frac{3}{2}$ 时，$2x+3<0, 2x-1<0$，则 $g(x)=-(2x+3)-[-(2x-1)]=-4$；
② 当 $-\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2}$ 时，$2x+3 \geq 0, 2x-1<0$，则 $g(x)=(2x+3)-[-(2x-1)]=4x+2$；
③ 当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时，$2x+3>0, 2x-1 \geq 0$，则 $g(x)=(2x+3)-(2x-1)=4$。
综上，$g(x)=\begin{cases} -4, & x < -\frac{3}{2} \\ 4x+2, & -\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ 4, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$。
其图像由左侧水平射线、中间线段和右侧水平射线组成。

（2）不等式 $f(x+a) \geq g(x)$ 即 $|x+a-2| \geq g(x)$。
函数 $y=f(x+a)$ 的图像是由 $y=f(x)$ 的图像向左平移 $a$ 个单位（若 $a>0$）或向右平移 $|a|$ 个单位（若 $a<0$）得到的，其顶点坐标为 $(2-a, 0)$，形状不变，两翼斜率分别为 $\pm 1$。
观察 $g(x)$ 的图像可知，其最大值为 $4$（当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时取得）。
要使 $f(x+a) \geq g(x)$ 恒成立，首先考虑 $x$ 较大时的情况。
当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时，$g(x)=4$。此时需满足 $|x+a-2| \geq 4$。
由于 $f(x+a)$ 是开口向上的“V”型，而 $g(x)$ 在此区间为常数 $4$，若 $f(x+a)$ 的右支（斜率为 $1$）要始终在 $y=4$ 上方或相交后不再低于它，考虑到 $f(x+a)$ 会趋向于无穷大，关键在于“进入”该区域的位置。
更严谨地，我们考察两个函数图像的相对位置。
$g(x)$ 在 $x \in [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$ 上单调递增，值域为 $[-4, 4]$；在 $x > \frac{1}{2}$ 时恒为 $4$。
$f(x+a)$ 的最小值为 $0$。
若 $a$ 较小，$f(x+a)$ 的顶点靠右，其左支可能与 $g(x)$ 的上升段或右侧平台相交甚至低于 $g(x)$。
随着 $a$ 增大，$f(x+a)$ 图像向左平移。
临界状态通常发生在 $f(x+a)$ 的图像与 $g(x)$ 的“最高点”或“关键转折点”相切或相交处。
注意到 $g(x)$ 的最大值是 $4$，且在 $x \geq \frac{1}{2}$ 时取到。
$f(x+a)$ 的图像中，函数值等于 $4$ 的点满足 $|x+a-2|=4$，解得 $x = 2-a \pm 4$，即 $x_1 = 6-a$（右支），$x_2 = -2-a$（左支）。
在 $x \geq \frac{1}{2}$ 区间，$g(x)=4$。要使 $f(x+a) \geq 4$ 对所有 $x \geq \frac{1}{2}$ 成立是不对的，因为 $f(x+a)$ 在顶点附近小于 $4$。
实际上，我们需要 $f(x+a)$ 的图像整体位于 $g(x)$ 上方。
观察图形特征：
$g(x)$ 在 $x \geq \frac{1}{2}$ 时为水平线 $y=4$。
$f(x+a)$ 的右支方程为 $y = x+a-2$ ($x \geq 2-a$)。
如果 $f(x+a)$ 的右支与 $g(x)$ 的平台部分 $y=4$ ($x \geq \frac{1}{2}$) 有交点，且在该交点左侧 $f(x+a) < g(x)$，则不满足条件。
为了保证 $f(x+a) \geq g(x)$，特别是针对 $g(x)$ 的最大值部分，我们需要 $f(x+a)$ 在 $g(x)=4$ 的区域也大于等于 $4$，或者 $f(x+a)$ 的“低谷”完全避开 $g(x)$ 的高值区。
让我们寻找临界点。$g(x)$ 的最高点是 $y=4$ (当 $x \ge 1/2$)。
$f(x+a)$ 必须覆盖住 $g(x)$。
考虑 $f(x+a)$ 的左支 $y = -(x+a-2) = -x-a+2$ 和右支 $y = x+a-2$。
当 $x$ 很大时，$f(x+a) \approx x$, $g(x)=4$，显然 $f > g$。
当 $x$ 很小时，$f(x+a) \approx -x$, $g(x)=-4$，显然 $f > g$。
最危险的区域是 $g(x)$ 较大的地方，即 $x \in [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$ 的上升段和 $x > \frac{1}{2}$ 的平台。
特别地，在 $x=\frac{1}{2}$ 处，$g(\frac{1}{2})=4$。
若要满足不等式，必须有 $f(\frac{1}{2}+a) \geq g(\frac{1}{2}) = 4$。
即 $|\frac{1}{2}+a-2| \geq 4 \Rightarrow |a-\frac{3}{2}| \geq 4$。
解得 $a-\frac{3}{2} \geq 4$ 或 $a-\frac{3}{2} \leq -4$。
即 $a \geq \frac{11}{2}$ 或 $a \leq -\frac{5}{2}$。

我们需要验证这两个范围。
情形1：$a \geq \frac{11}{2}$。
此时 $2-a \leq 2-5.5 = -3.5$。$f(x+a)$ 的顶点在 $x \leq -3.5$。
在 $x \geq \frac{1}{2}$ 时，$f(x+a) = x+a-2$。
因为 $a \geq 5.5$，所以 $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + a - 2 = a - 1.5 \geq 4$。
且 $f(x+a)$ 在 $x \geq \frac{1}{2}$ 单调递增，故 $f(x+a) \geq 4 = g(x)$ 成立。
在 $-\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2}$ 时，$g(x)=4x+2$。
$f(x+a)$ 的顶点在左侧远处，此区间位于 $f(x+a)$ 的右支（因为 $x \geq -1.5 > 2-a$）。
$f(x+a) = x+a-2$。
需 $x+a-2 \geq 4x+2 \Rightarrow a-4 \geq 3x$。
因为 $x < \frac{1}{2}$，所以 $3x < 1.5$。
只要 $a-4 \geq 1.5 \Rightarrow a \geq 5.5$，即 $a \geq \frac{11}{2}$，不等式恒成立。
在 $x < -\frac{3}{2}$ 时，$g(x)=-4$，$f(x+a) \geq 0 > -4$，恒成立。
所以 $a \geq \frac{11}{2}$ 符合题意。

情形2：$a \leq -\frac{5}{2}$。
此时 $2-a \geq 4.5$。$f(x+a)$ 的顶点在 $x \geq 4.5$。
考虑 $x=\frac{1}{2}$ 处，$g(\frac{1}{2})=4$。
$f(\frac{1}{2}+a) = |\frac{1}{2}+a-2| = |a-1.5|$。
若 $a=-2.5$， $|-2.5-1.5|=4$，满足端点。
但在 $x \in [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$ 区间，$g(x)$ 从 $-4$ 升到 $4$。
$f(x+a)$ 的顶点在右侧，所以在该区间 $f(x+a)$ 处于左支，即 $f(x+a) = -(x+a-2) = -x-a+2$。
斜率为 $-1$。而 $g(x)$ 斜率为 $4$。
在 $x=\frac{1}{2}$ 处两者相等（当 $a=-2.5$）。
由于 $g(x)$ 增长快（斜率4），$f(x+a)$ 下降（斜率-1），所以在 $x < \frac{1}{2}$ 附近，$g(x)$ 会迅速小于 $f(x+a)$ 吗？
检查 $x=0$：$g(0)=2$。$f(a) = |-a+2|$。
若 $a=-2.5$，$f(-2.5) = |2.5+2| = 4.5 \geq 2$，成立。
检查 $x=-\frac{3}{2}$：$g(-\frac{3}{2})=-4$。$f(-\frac{3}{2}+a) = |-\frac{3}{2}+a-2| = |a-3.5|$。
若 $a=-2.5$，$|-2.5-3.5|=6 \geq -4$，成立。
但是，我们要看是否在整个定义域成立。
当 $a$ 很负时，$f(x+a)$ 移向右边。
考虑 $x$ 很大的情况。$g(x)=4$。$f(x+a)=|x+a-2|$。
当 $x$ 足够大，$x+a-2 > 0$， $f(x+a) = x+a-2$。
需 $x+a-2 \geq 4 \Rightarrow x \geq 6-a$。
如果 $x$ 在 $[\frac{1}{2}, 6-a)$ 之间，且 $6-a > \frac{1}{2}$（即 $a < 5.5$），则在此区间内 $f(x+a) < 4 = g(x)$。
例如取 $a=-2.5$，则需 $x \geq 8.5$ 才有 $f(x) \geq 4$。
而在 $x \in [\frac{1}{2}, 8.5)$ 时，$g(x)=4$，但 $f(x-2.5) = |x-4.5|$。
取 $x=4.5$， $f(2)=0 < 4=g(4.5)$。
所以 $a \leq -\frac{5}{2}$ 时，在 $x$ 较大处（顶点附近）$f(x+a)$ 会小于 $g(x)$。
因此舍去 $a \leq -\frac{5}{2}$。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $a \geq \frac{11}{2}$。