已知函数 f(x)=|x-2|, g(x)=|2 x+3|…——2021 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）图像见解析；②$a \geq \frac{11}{2}$

【解析】

【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 $y=f(x)$ 向左平移可满足同角，求得 $y=f(x+a)$ 过 $A\left(\frac{1}{2}, 4\right)$ 时 $a$ 的值可求．

【详解】（1）可得 $f(x)=|x-2|=\left\{\begin{array}{l}2-x, x<2 \\ x-2, x \geq 2\end{array}\right.$ ，画出图像如下：

$g(x)=|2 x+3|-|2 x-1|=\left\{\begin{array}{l}-4, x<-\frac{3}{2} \\ 4 x+2,-\frac{3}{2} \leq x<\frac{1}{2}, \text { 画出函数图像如下：} \\ 4, x \geq \frac{1}{2}\end{array}\right.$

（2）$f(x+a)=|x+a-2|$ ，

如图，在同一个坐标系里画出 $f(x), g(x)$ 图像，
$y=f(x+a)$ 是 $y=f(x)$ 平移了 $|a|$ 个单位得到，
则要使 $f(x+a) \geq g(x)$ ，需将 $y=f(x)$ 向左平移，即 $a>0$ ，
当 $y=f(x+a)$ 过 $A\left(\frac{1}{2}, 4\right)$ 时，$\left|\frac{1}{2}+a-2\right|=4$ ，解得 $a=\frac{11}{2}$ 或 $-\frac{5}{2}$（舍去），
则数形结合可得需至少将 $y=f(x)$ 向左平移 $\frac{11}{2}$ 个单位，$\therefore a \geq \frac{11}{2}$ ．

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解．