2012_xinkebiao_old
12．（5分）设点P在曲线 $y = \frac { 1 } { 2 } e ^ { x }$ 上，点Q在曲线 ${ \mathsf { y } } { = } { \mathsf { l n } } \ ( 2 { \mathsf { x } } )$ 上，则 $| \mathsf { P Q } |$ 最小值为（ ）A $1 - \ln 2$ B $\sqrt { 2 } \left( 1 - 1 { \mathrm { n } } 2 \right)$ C $1 + 1 { \mathsf n } 2$ D． $\sqrt { 2 } \left( 1 { + } 1 { \mathrm { n } } 2 \right)$
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】由于函数 $\mathbf { y } = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mathbf { x } }$ 与函数 $y = 1 n ( 2 x )$ 互为反函数，图象关于y=x对称，要求 $| \mathsf { P Q } |$ 的最小值，只要求出函数 $\mathbf { y } = \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { \mathbf { x } }$ 上的点 $\mathsf { P } ( \mathbf { x } , \ \frac { 1 } { 2 } , \mathsf { e } ^ { \mathbf { x } } )$ 到直线y=x的距离为 $d = \frac { \vert \frac { 1 } { 2 } e ^ { x } - x \vert } { \sqrt { 2 } }$ 的最小值，
设g $( \textsf { x } ) = \frac { 1 } { 2 } \mathtt { e } ^ { \mathtt { x } } - \mathtt { x }$ ，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求
【解答】解：∵函数 $\boldsymbol { \mathrm { y } } = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \mathrm { e } } ^ { \boldsymbol { \mathrm { x } } _ { - } }$ 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，
函数 $\mathbf { y } = \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { \mathbf { x } }$ 上的点 $\mathsf { P } ( \mathbf { x } , \mathrm { ~ } \frac { 1 } { 2 } \bar { \mathsf { e } } ^ { \mathbf { x } } )$ 到直线y=x的距离为 $d = \frac { \vert \frac { 1 } { 2 } e ^ { x } - x \vert } { \sqrt { 2 } } ,$
设g $( \textsf { x } ) = \frac { 1 } { 2 } \mathtt { e } ^ { \textsf { x } } - \mathtt { x } ^ { \textsf { ( x > 0 ) } }$ ，则 $\tt { g ^ { ' } } ( \mathbf { x } ) \mathrm { = } \frac { 1 } { 2 } \tt { e ^ { \frac { x } { \mu } } - 1 }$
由 $\tt { g } ^ { \prime } ( \tt { x } ) = \frac { 1 } { 2 } \tt { e } ^ { \tt { x } } - 1 2 0$ 可得 $\cdot x = \ln 2$
由 $\texttt { g } ^ { ' } ( \texttt { x } ) = \frac { 1 } { 2 } \texttt { e } ^ { \texttt { x } } - 1 < 0$ 可得 $0 < x < \mathsf { I n } 2$
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在 $[ \ln 2 , + \infty )$ 单调递增，
∴当x=ln2时，函数 $\mathbf { \dot { g } } ( \mathbf { \dot { x } } ) _ { \mathbf { \dot { \mathsf { m i n } } } } = 1 - \mathsf { I n } 2$
$$ \mathrm { d } _ { \mathrm { \scriptsize { m i n } } } = \frac { 1 - 1 { \mathrm { n } } 2 } { \sqrt { 2 } } , $$
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为 $2 \mathrm { d } _ { \mathrm { m i n } } = \sqrt { 2 } ( 1 - \mathrm { l n } 2 )$
故选：B
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分