5．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（ ）
参考答案
C
（5分）已知双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^…——2009 高考数学第 5 题答案解析
2009_旧全国 I 卷 (2009·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】 KC ：双曲线的性质； KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】11：计算题．
【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于 0 ，找到 a 和 b 的关系，从而推断出 a 和 c 的关系，答案可得。
【解答】解：由题双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{b x}{a}$ ，
代入抛物线方程整理得 $a x^{2}-b x+a=0$ ，
因渐近线与抛物线相切，所以 $b^{2}-4 a^{2}=0$ ，
即 $c^{2}=5 a^{2} \Leftrightarrow e=\sqrt{5}$ ，
故选：C．
【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．
✅ 来源：2009年 · 全国 · 2009_旧全国 I 卷 (2009·文) · 第 5 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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