2012_退役省自主命题 (2012·文)
（20）（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 5 项和为 105 ，且 $a_{20}=2 a_{5}$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）对任意 $m \in \mathbf{N}^{*}$ ，将数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中不大于 $7^{2 m}$ 的项的个数记为 $b_{m}$ 。求数列 $\left\{b_{m}\right\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$.
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解答】
（I）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}5 a_{1}+10 d=105, \\ a_{1}+9 d=2\left(a_{1}+4 d\right),\end{array}\right.$
解得 $a_{1}=7, d=7$ ，
所以通项公式为 $a_{n}=7+(n-1) \cdot 7=7 n$ ．
（II）由 $a_{n}=7 n \leq 7^{2 m}$ ，得 $n \leq 7^{2 m-1}$ ，
即 $b_{m}=7^{2 m-1}$ 。
$\because \frac{b_{k+1}}{b_{k}}=\frac{7^{2 m+1}}{7^{2 m-1}}=49$ ，
$\therefore\left\{b_{m}\right\}$ 是公比为 49 的等比数列，
$\therefore S_{m}=\frac{7\left(1-49^{m}\right)}{1-49}=\frac{7}{48}\left(49^{m}-1\right)$ ．