（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都…——2010 高考数学第 10 题答案解析

【答案】B

【解答】
（ 5 分）（ 2010 •海南）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A．$\pi a^{2}$
B．$\frac{7}{3} \pi a^{2}$
C．$\frac{11}{3} \pi \mathrm{a}^{2}$
D． $5 \pi \mathrm{a}^{2}$

【考点】球内接多面体．
【专题】计算题．
【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积。
【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为 $\mathrm{R}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{a}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{a}}{2 \sin 60^{\circ}}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{12} \mathrm{a}^{2}}$ ，

球的表面积为 $S^{2}=4 \pi \cdot \frac{7 a^{2}}{12}=\frac{7}{3} \pi a^{2}$ ，
故选B．
【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力。