（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.

（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的

概率为

$$ P { \big ( } A { \big ) } = \left( 1 - { \frac { 1 } { 3 } } \right) \times \left( 1 - { \frac { 1 } { 3 } } \right) \times { \frac { 1 } { 3 } } = { \frac { 4 } { 2 7 } } $$

（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到 $k$ 次红灯的事件 $B _ { k } \left( k = 0 , 1 , 2 \right)$

则由题意，得 $P \left( B _ { 0 } \right) = \left( { \frac { 2 } { 3 } } \right) ^ { 4 } = { \frac { 1 6 } { 8 1 } }$

$$ P \left( B _ { 1 } \right) = C _ { 4 } ^ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 3 } } \right) ^ { 1 } \left( { \frac { 2 } { 3 } } \right) ^ { 3 } = { \frac { 3 2 } { 8 1 } } , P \left( B _ { 2 } \right) = C _ { 4 } ^ { 2 } \left( { \frac { 1 } { 3 } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { 2 } { 3 } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 2 4 } { 8 1 } } $$

由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，

$\therefore$ 事件B的概率为

$$ P \big ( B \big ) = P \big ( B _ { 0 } \big ) + P \big ( B _ { 1 } \big ) + P \big ( B _ { 2 } \big ) = \frac { 8 } { 9 } $$