（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交…——2015 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明

【专题】5B：直线与圆

【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得 $\angle O E D = 9 0 ^ { \circ }$ ，可得DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）设 ${ \mathsf { C E } } { = } 1 , ~ { \mathsf { A E } } { = } { \mathsf { X } }$ ，由射影定理可得关于x的方程 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } = { \sqrt { 1 2 - \mathbf { x } ^ { 2 } } }$ ，解方程可得x值，可得所求角度

【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，

在 $\mathsf { R T \triangle A B C } \sharp$ ，由已知可得DE=DC， $\therefore \angle D E C = \angle D C E$

连接OE，则 $\angle O B E = \angle O E B$

又 $\angle A C B + \angle A B C = 9 0 ^ { \circ } , \because \angle D E C + \angle O E B = 9 0 ^ { \circ }$

$\therefore \angle O E D = 9 0 ^ { \circ } , ~ \therefore D E$ 是⊙O的切线；

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，

由已知得 $A B = 2 { \sqrt { 3 } } , B E = { \sqrt { 1 2 - x ^ { 2 } } }$

由射影定理可得 $\mathsf { A E } ^ { 2 } { \mathsf { = C E } } { \mathsf { \bullet B E } }$

$\therefore x ^ { 2 } = \sqrt { 1 2 - x ^ { 2 } }$ ，即 $x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - 1 2 = 0$

解方程可得 $x = \sqrt { 3 }$

$$ \therefore \angle A C B = 6 0 ^ { \circ } $$

【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题

五、【选修4-4：坐标系与参数方程】