如图，在正方体中， O 为底面的中心， P 为所在棱的中点…——2021 高考数学第 10 题答案解析

【答案】BC

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线 $M N$ 构造所考虑的线线角后可判断 AD 的正误．
【详解】设正方体的棱长为 2 ，
对于 A ，如图（1）所示，连接 $A C$ ，则 $M N / / A C$ ，
故 $\angle P O C$（或其补角）为异面直线 $O P, M N$ 所成的角，
在直角三角形 $O P C, O C=\sqrt{2}, C P=1$ ，故 $\tan \angle P O C=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

故 $M N \perp O P$ 不成立，故A错误．

对于B，如图（2）所示，取 $N T$ 的中点为 $Q$ ，连接 $P Q, O Q$ ，则 $O Q \perp N T, P Q \perp M N$ ，由正方体 $S B C M-N A D T$ 可得 $S N \perp$ 平面 $A N D T$ ，而 $O Q \subset$ 平面 $A N D T$ ，

故 $S N \perp O Q$ ，而 $S N \cap M N=N$ ，故 $O Q \perp$ 平面 $S N T M$ ，

又 $M N \subset$ 平面 $S N T M, O Q \perp M N$ ，而 $O Q \cap P Q=Q$ ，
所以 $M N \perp$ 平面 $O P Q$ ，而 $P O \subset$ 平面 $O P Q$ ，故 $M N \perp O P$ ，故B正确．

对于 C ，如图③，连接 $B D$ ，则 $B D / / M N$ ，由 B 的判断可得 $O P \perp B D$ ，故 $O P \perp M N$ ，故C正确．

对于D，如图④，取 $A D$ 的中点 $Q, A B$ 的中点 $K$ ，连接 $A C, P Q, O Q, P K, O K$ ，则 $A C / / M N$ ，

因为 $D P=P C$ ，故 $P Q / / A C$ ，故 $P Q / / M N$ ，

所以 $\angle Q P O$ 或其补角为异面直线 $P O, M N$ 所成的角，

图（4）

因为正方体的棱长为 2 ，故 $P Q=\frac{1}{2} A C=\sqrt{2}, O Q=\sqrt{A O^{2}+A Q^{2}}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$ ， $P O=\sqrt{P K^{2}+O K^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}, Q O^{2}<P Q^{2}+O P^{2}$ ，故 $\angle Q P O$ 不是直角，故 $P O, M N$ 不垂直，故D错误．

故选：BC．