2020_北京卷
13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足 $\overrightarrow { A P } = \frac { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } )$ ，则 $| \overrightarrow { P D }$ |= \_ ${ \overrightarrow { P B } } \cdot { \overrightarrow { P D } } =$ =
(1) $\sqrt { 5 }$; (2) -1
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 (1). $\sqrt { 5 }$ (2). -1
【解析】
【分析】
以点A为坐标原点，AB 、AD所在直线分别为<sup>x</sup>、<sup>y</sup>轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 $\left| \overrightarrow { P D } \right|$ 以及 ${ \overrightarrow { P B } } { \cdot } { \overrightarrow { P D } }$ 的值.
【详解】以点A为坐标原点，AB 、AD所在直线分别为<sup>x</sup>、<sup>y</sup>轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，
$$ \overrightarrow { A P } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { \left( A B + A C \right) } = \frac { 1 } { 2 } \big ( 2 , 0 \big ) + \frac { 1 } { 2 } \big ( 2 , 2 \big ) = \big ( 2 , 1 \big ) $$
则点P(2,1), $\therefore \overrightarrow { P D } = \left( - 2 , 1 \right)$ $\overrightarrow { P B } = \left( 0 , - 1 \right)$
因此， $\left| \overrightarrow { P D } \right| = \sqrt { \left( - 2 \right) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } \ , \overrightarrow { P B } \cdot \overrightarrow { P D } = 0 \times \left( - 2 \right) + 1 \times \left( - 1 \right) = - 1$
故答案为： ${ \sqrt { 5 } } ; - 1$
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.