2012_上海卷 (2012·理)
12．在平行四边形 $A B C D$ 中，$\angle A=\frac{\pi}{3}$ ，边 $A B , A D$ 的长分别为 $2 , 1$ ，若 $M , N$ 分别是边 $B C , C D$ 上的点，且满足 $\frac{|\overrightarrow{B M}|}{|\overrightarrow{B C}|}=\frac{|\overrightarrow{C N}|}{|\overrightarrow{C D}|}$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A N}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
［ 2,5 ］
【答案】［ 2,5 ］
【解析】以向量 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴，以向量 $A D$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 $A B=2, A D=1$ ，所以 $A(0,0), B(2,0), C\left(\frac{5}{2}, 1\right) D\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ．设
$N(x, 1)\left(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}\right)$ ，则 $B M=\frac{1}{2} C N, C N=\frac{5}{2}-x, B M=\frac{5}{4}-\frac{1}{2} x, M\left(2+\frac{5}{8}-\frac{1}{4} x,\left(\frac{5}{4}-\frac{1}{2} x\right) \sin \frac{\pi}{3}\right)$ 。
根据题意，有 $\overrightarrow{A N}=(x, 1), \overrightarrow{A M}=\left(\frac{21}{8}-\frac{x}{4}, \frac{5 \sqrt{3}-2 \sqrt{3} x}{8}\right)$ ．
所以 $\overrightarrow{A M} \bullet \overrightarrow{A N}=x\left(\frac{21}{8}-\frac{x}{4}\right)+\frac{5 \sqrt{3}-2 \sqrt{3} x}{8}\left(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}\right)$ ，所以 $2 \leq \overrightarrow{A M} \bullet \overrightarrow{A N} \leq 5$ ．
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律．做题时，要切实注意条件的运用．本题属于中档题，难度适中．
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。