【解答】
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列．已知 $a_{1}=4, b_{1}=6, b_{2}=2 a_{2}-2, b_{3}=2 a_{3}+4$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{1}=1, c_{n}=\left\{\begin{array}{l}1, \quad 2^{k}<n<2^{k+1} \\ b_{k}, n=2^{k},\end{array}\right.$ 其中 $k \in \mathbf{N}^{*}$ ．
（i）求数列 $\left\{a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)\right\}$ 的通项公式；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．
【答案】（I）$a_{n}=3 n+1 ; ~ b_{n}=3 \times 2^{n}$（II）（i）$a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)=9 \times 4^{n}-1$（ii）
$\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)=27 \times 2^{2 n-1}+5 \times 2^{n-1}-n-12 \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
【解析】
【分析】
（I）由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
（II）结合（I）中的结论可得数列 $\left\{a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)\right\}$ 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前 $n$ 项和公式可得 $\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{i} c_{i}$ 的值。
【详解】（I）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ．
依题意得 $\left\{\begin{array}{l}6 q=2(4+d)-2=6+2 d \\ 6 q^{2}=2(4+2 d)+4=12+4 d\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}d=3 \\ q=2\end{array}\right.$ ，
故 $a_{n}=4+(n-1) \times 3=3 n+1, b_{n}=6 \times 2^{n-1}=3 \times 2^{n}$ ．
所以，$\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=3 n+1,\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为 $b_{n}=3 \times 2^{n}$ ．
（II）（i）$a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)=a_{2^{n}}\left(b_{n}-1\right)=\left(3 \times 2^{n}+1\right)\left(3 \times 2^{n}-1\right)=9 \times 4^{n}-1$ ．
所以，数列 $\left\{a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)\right\}$ 的通项公式为 $a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)=9 \times 4^{n}-1$ ．
（ii）$\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{i} c_{i}=\sum_{i=1}^{2^{n}}\left[a_{i}+a_{i}\left(c_{i}-1\right)\right]=\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{i}+\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{2^{i}}\left(c_{2^{i}}-1\right)$
$=\left(2^{n} \times 4+\frac{2^{n}\left(2^{n}-1\right)}{2} \times 3\right)+\sum_{i=1}^{n}\left(9 \times 4^{i}-1\right)$
$=\left(3 \times 2^{2 n-1}+5 \times 2^{n-1}\right)+9 \times \frac{4\left(1-4^{n}\right)}{1-4}-n$
$=27 \times 2^{2 n-1}+5 \times 2^{n-1}-n-12 \quad\left(n \in N^{*}\right)$.
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 $n$ 项和公式等基础知识。考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．